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Bulletin de la SMF - Parutions - 134 - pages 253-260

Parutions134

On coverings of simple abelian varieties
Olivier Debarre
Bulletin de la Société mathématique de France 134, fascicule 2 (2006), 253-260
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Résumé :
Sur les revêtements des variétés abéliennes simples
On associe à tout revêtement fini $f:Y\to X$ de degré d entre variétés projectives lisses complexes un fibré vectoriel Ef de rang d-1 sur X dont l'espace total contient Y. On sait que Ef est ample lorsque X est un espace projectif ([Lazarsfeld 1980]), une grassmannienne ([Manivel 1997]) ou une grassmannienne lagrangienne ([Kim & Maniel 1999]). Nous montrons un résultat analogue lorsque X est une variété abélienne simple et que f ne se factorise par aucune isogénie non triviale $X'\to X$. Ce résultat est obtenu en montrant que Ef est M-régulier au sens de Pareschi-Popa, puis que tout faisceau M-régulier est ample.

Mots clefs : Variété ab'elienne, fibré vectoriel, faisceau ample, faisceau M-régulier, faisceau continûment engendré, théorème de Barth-Lefschetz, transformée de Mukai.

Abstract:
To any finite covering $f:Y\to X$ of degree d between smooth complex projective manifolds, one associates a vector bundle Ef of rank d-1 on X whose total space contains Y. It is known that Ef is ample when X is a projective space ([Lazarsfeld 1980]), a Grassmannian ([Manivel 1997]), or a Lagrangian Grassmannian ([Kim & Maniel 1999]). We show an analogous result when X is a simple abelian variety and f does not factor through any nontrivial isogeny $X'\to X$. This result is obtained by showing that Ef is M-regular in the sense of Pareschi-Popa, and that any M-regular sheaf is ample.

Key words: Abelian variety, vector bundle, ample sheaf, M-regular sheaf, continuously generated sheaf, Barth-Lefschetz Theorem, Mukai transform.

Class. math. : 14E20, 14J60, 14K02, 14K05, 14K12


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique