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Bulletin de la SMF - Parutions - 133 - pages 73-86

Parutions133

Existence de filtrations admissibles sur des isocristaux
Jean-Marc Fontaine - Michael Rapoport
Bulletin de la Société mathématique de France 133, fascicule 1 (2005), 73-86
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Résumé :
Soit $(D,\varphi )$ un isocristal de vecteur de Newton $\nu \in (
\mathbb 
Q^d)_+$. On associe à une filtration $\mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet }$ de D son vecteur de Hodge $\mu (\mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet })\in ({
\mathbb 
Z}^d)_+$. Si $\mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet }$ est admissible (i.e. $(D,\varphi , \mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet })$ est faiblement admissible en tant qu'isocristal filtré), alors $\mu (\mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet })\geq \nu $. Réciproquement, on démontre qu'étant donné $\mu \in (
\mathbb 
Z^d)_+$ avec $\mu \geq \nu $, il existe une filtration admissible $\mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet }$ de D avec $\mu =\mu (\mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet })$. On en déduit, à l'aide d'un théorème de Laffaille, l'existence d'un réseau M dans D de type $\mu $. On donne aussi une variante pour un groupe quasi-déployé quelconque.

Mots clefs : Isocristaux, vecteur de Newton, filtrations admissibles

Abstract:
Existence of admissible filtrations on isocrystals
Let $(D,\varphi )$ be an F-isocrystal with associated Newton vector $\nu $ in $(
\mathbb 
Q^d)_+$. To a filtration $\mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet }$ of D is associated its Hodge vector $\mu (\mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet })\in ({
\mathbb 
Z}^d)_+$. If $\mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet }$ is admissible (i.e.^M$(D,\varphi , \mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet })$ is a weakly admissible filtered isocrystal), then $\mu (\mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet })\geq \nu $. We show that, conversely, for any $\mu \in (
\mathbb 
Z^d)_+$ with $\mu \geq \nu $, there exists an admissible filtration $\mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet }$ of D with $\mu =\mu (\mathcal F^{\scriptscriptstyle \bullet })$. With the help of a theorem of Laffaille we deduce the existence of a lattice M in D of type $\mu $. We also give a variant for arbitrary quasi-split groups.

Key words: F-isocrystals, Newton vector, admissible filtrations

Class. math. : 14F30, 14L05


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique