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Bulletin de la SMF - Parutions - 133 - pages 199-204

Parutions133

Codimension B-W d'un idéal à droite non nul de $A_{1}(
\mathbb {C}
)$
Mathias Konan Kouakou
Bulletin de la Société mathématique de France 133, fascicule 2 (2005), 199-204
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Résumé :
Soit $A_{1}(
\mathbb {C}
)$ la première algèbre de Weyl sur $
\mathbb {C}
$. La codimension B-W d'un idéal à droite non nul I de $A_{1}(
\mathbb {C}
)$ a été introduite par Yuri Berest et George Wilson. Nous montrons d'une part que cette codimension est invariante par la relation de Stafford: si $x\in Q_{1}=\mathrm {Frac}(A_{1}(
\mathbb {C}
))$, le corps de fractions de $A_{1}(
\mathbb {C}
)$, et si $\sigma \in \mathrm {Aut} (A_{1}(
\mathbb {C}
))$, le groupe des $
\mathbb {C}
$-automorphismes de $A_{1}(
\mathbb {C}
)$, sont tels que $J=x\sigma (I)$ soit un idéal à droite de $A_{1}(
\mathbb {C}
)$, alors $\mathrm {codim}\, I=\mathrm {codim}\, x\sigma (I)$. Nous relions d'autre part la codimension d'un idéal I à la codimension de Gail Letzter-Makar Limanov, de $\mathrm {End}(I)$, l'anneau des endomorphismes de I vu comme un $A_{1}(
\mathbb {C}
)$ sous-module à droite de Q1, par la formule $2\mathrm {codim}\, I = \mathrm {codim}\, \mathrm {End}(I)$.

Mots clefs : Première algèbre de Weyl, idéal à droite, automorphisme, codimension

Abstract:
B-W codimension of a right ideal non-zero of $A_{1}(
\mathbb {C}
)$
The B-W codimension of a right ideal non-zero I of $A_{1}(
\mathbb {C}
)$, the first Weyl algebra on $
\mathbb {C}
$, has been introduced by Yuri Berest and George Wilson. In this paper we show that this codimension is invariant under Stafford relation: if $x\in Q_{1}=\mathrm {Frac}(A_{1}(
\mathbb {C}
))$ the skew field of fractions of $A_{1}(
\mathbb {C}
)$ and $\sigma \in \mathrm {Aut} (A_{1}(
\mathbb {C}
))$ the group of $
\mathbb {C}
$-automorphisms of $A_{1}(
\mathbb {C}
)$ are such that $J=x\sigma (I)$ be a right ideal of $A_{1}(
\mathbb {C}
)$, then $\mathrm {codim}\, I=\mathrm {codim}\, x\sigma (I)$. Elsewhere we also show the link between the codimension of an ideal and the codimension of $\mathrm {End}\,(I)$, defined by Gail Letzter-Makar Limanov: we show that $2\mathrm {codim}\, I = \mathrm {codim}\, \mathrm {End}(I)$.

Key words: First Weyl algebra, right ideal, automorphism, codimension

Class. math. : 16S32


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique