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Bulletin de la SMF - Parutions - 133 - pages 1-72

Parutions133

Radiation fields
Piotr T. Chrusciel - Olivier Lengard
Bulletin de la Société mathématique de France 133, fascicule 1 (2005), 1-72
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Résumé :
Champs rayonnants
Nous étudions le « problème de Cauchy hyperboloïdal » pour des équations d'ondes linéaires et semi-linéaires sur l'espace-temps de Minkowski, avec des données initiales, singulières au bord, dans des espaces de Sobolev à poids, où polyhomogènes. Plus précisement, nous considérons une classe de systèmes symétriques hyperboliques non-linéaires, compatibles avec l'équation d'onde scalaire $\lambda \phi ^p$, ainsi qu'avec des applications d'onde, avec données initiales prescrites sur un hyperboloide. Plusieurs de nos résultats restent valables pour une classe générale d'espace-temps avec complétions conformes à l'infini isotrope, ainsi que pour une large classe d'équations avec une certaine structure des termes non-linéaires. Nous démontrons l'existence de solutions avec comportement asymptotique contrôlé, ainsi que des développements asymptotiques si les données initiales en possèdent. En particulier nous démontrons, sous une condition de compatibilité, que les données initiales polyhomogènes conduisent à des solutions polyhomogènes près du bord conforme $\mathcal {I}^+$ de l'espace-temps de Minkowski.

Mots clefs : Équations d'ondes, comportement asymptotique, infini conforme, développements polyhomogènes, propagation de singularités, systèmes symétriques hyperboliques

Abstract:
We study the ``hyperboloidal Cauchy problem'' for linear and semi-linear wave equations on Minkowski space-time, with initial data in weighted Sobolev spaces allowing singular behavior at the boundary, or with polyhomogeneous initial data. Specifically, we consider nonlinear symmetric hyperbolic systems of a form which includes scalar fields with a $\lambda \phi ^p$ nonlinearity, as well as wave maps, with initial data given on a hyperboloid; several of the results proved apply to general space-times admitting conformal completions at null infinity, as well to a large class of equations with a similar non-linearity structure. We prove existence of solutions with controlled asymptotic behavior, and asymptotic expansions for solutions when the initial data have such expansions. In particular we prove that polyhomogeneous initial data (satisfying compatibility conditions) lead to solutions which are polyhomogeneous at the conformal boundary $\mathcal {I}^+$ of the Minkowski space-time.

Key words: Wave equations, asymptotic behavior, conformal infinity, polyhomogeneous expansions, singularity propagation, symmetric hyperbolic systems

Class. math. : 35L40, 58J47


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique