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Bulletin de la SMF - Parutions - 132 - pages 543-567

Parutions132

Sur les orbites d'un sous-groupe sphérique dans la variété des drapeaux
Nicolas Ressayre
Bulletin de la Société mathématique de France 132, fascicule 4 (2004), 543-567
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Résumé :
Soient G un groupe algébrique complexe réductif et connexe, B un sous-groupe de Borel de G et H un sous-groupe sphérique de G.
Soit X un plongement $G\times G$-équivariant de G. Nous savons que $B\times H$ n'a qu'un nombre fini d'orbites dans G ; nous montrons qu'il n'en a qu'un nombre fini dans X. Soit $\overline {V}$ l'adhérence dans X d'une orbite de $B\times H$ dans G et $\overline {\mathcal {O}} $ l'adhérence d'une orbite de $G\times G$ dans X. Si X est toroïdal, nous montrons que l'intersection $\overline {V}\cap \overline {\mathcal {O}} $ est propre dans X et la décrivons ensemblistement. Si de plus X est lisse, nous calculons les multiplicités d'intersections qui sont des puissances de 2. Enfin, si X est toroïdal, lisse et complet, nous exprimons la classe de cohomologie de $\overline {V}$ comme une combination linéaire des classes d'adhérence dans X d'orbites de $B\times B$ dans G. Nous utilisons la cohomologie B-équivariante pour obtenir ce dernier résultat.
Soit Y un plongement lisse G-équivariant et toroïdal de G/H et $\overline {\mathcal {O}} $ l'adhérence d'une orbite de G dans Y. Soit $\overline {V}$ l'adhérence dans Y d'une orbite de B dans G/H. Dans [4], après la proposition, M.Brion demande si chaque composante irréductible de $\overline {V}\cap \overline {\mathcal {O}} $ contient des points lisses de $\overline {V}$: nous répondons négativement à cette question dans la dernière partie.

Mots clefs : Plongement de groupes, variétés sphériques, adhérences d'orbites, variété des drapeaux, cohomologie équivariante

Abstract:
On the orbits of a spherical subgroup in the flag manifold
Let G be a complex reductive algebraic group, B be a Borel subgroup of G and H be a spherical subgroup of G.
Let X be a $G\times G$-equivariant embedding of G. We know that $B\times H$ have finitely many orbits in G ; we show that it has finitely many ones in X. Let $\overline {V}$ be the closure in X of a $(B\times H)$-orbit in G, and $\overline {\mathcal {O}} $ be the closure of a $(G\times G)$-orbit in X. If X is toroïdal, we show that the intersection $\overline {V}\cap \overline {\mathcal {O}} $ is proper in X and we describe this intersection. If in addition X is smooth, we determine the intersection multiplicities of $\overline {V}\cap \overline {\mathcal {O}} $, which are powers of 2. If X is toroïdal, smooth and complete, we write the class of cohomology of $\overline {V}$ as a linear combinaison of the classes of the closures in X of the $(B\times B)$-orbits in G. The proof of this last statement uses B-equivariant cohomology.
Let Y be a smooth G-equivariant embedding of G/H and $\overline {\mathcal {O}} $ be the closure of a G-orbit in Y. Let $\overline {V}$ be the closure in Y of a B-orbit in G/H. In [4], just after Proposition, M.Brion asks if each irreducible component of $\overline {V}\cap \overline {\mathcal {O}} $ intersects the set of the smooth points in $\overline {V}$: we give an example which answers `no' to this question.

Key words: Group embeddings, spherical variety, orbit closures, flag varieties, equivariant cohomology

Class. math. : 14M15, 14M17, 14C17, 55N91


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique