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Bulletin de la SMF - Parutions - 132 - pages 477-508

Parutions132

Propriétés (Q) et (C). Variété commutante
Jean-Yves Charbonnel
Bulletin de la Société mathématique de France 132, fascicule 4 (2004), 477-508
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Résumé :
Soient X une variété algébrique complexe, lisse, irréductible, E et F deux espaces vectoriels complexes de dimension finie et $\mu $ un morphisme de X dans l'espace Lin(E,F) des applications linéaires de E dans F. Pour $x\in X$, on note E(x) et $x\cdot E$ le noyau et l'image de $\mu (x)$, $\overline {\!\mu }_{x}$ le morphisme de X dans Lin$(E(x),F/(x\cdot E))$ qui associe à y l'application linéaire $v\mapsto \mu (y)(v)+x\cdot E$. Soit i${\mkern 1mu}_{\mu }$ la dimension minimale de E(x). On dit que $\mu $ a la propriété $({\bf R})$ en x si i${\mkern 3mu}_{\overline {\!\mu }_{x}}$ est inférieur à i${\mkern 1mu}_{\mu }$. Soient F* le dual de F, S(F) l'algèbre symétrique de F, ${\mathcal I}_{\mu }$ l'idéal de ${\mathcal O}_{X}\otimes _{
\mathbb 
C}{\rm S}(F)$ engendré par les fonctions $(x,v') \mapsto \langle {v'},{\mu (x)(v)}\rangle $v est dans E et ${
\mathfrak 
C}_{\mu }$ la sous-variété des zéros dans $X\times F^{*}$ de ${\mathcal I}_{\mu }$. Désignant par $\sqrt {{\mathcal I}_{\mu }}$ le radical de ${\mathcal I}_{\mu }$, par $\Sigma $ le support de $\sqrt {{\mathcal I}_{\mu }}/{\mathcal I}_{\mu }$ dans $X\times F^{*}$ et par S la projection de $\Sigma $ sur X, le premier résultat principal de ce mémoire dit que sous deux conditions techniques sur $\mu $, S est une partie fermée de X dont la codimension est supérieure à 2 si et seulement si l'adhérence de l'ensemble des points de X en lesquels $\mu $ n'a pas la propriété $({\bf R})$, a une codimension supérieure à 2.

Soit $
\mathfrak 
g$ une algèbre de Lie. On dit que $
\mathfrak 
g$ a la propriété $({\bf C})$ en l'élément $\xi $ de $
\mathfrak 
g$ si l'application adjointe de $
\mathfrak 
g$ dans l'espace des endomorphismes linéaires de $
\mathfrak 
g$ a la propriété (R) en $\xi $ et que $
\mathfrak 
g$ a la propriété $({\bf Q})$ en l'élément v' de ${
\mathfrak 
g}^{*}$ si l'application coadjointe de ${
\mathfrak 
g}^{*}$ dans $\mathrm {Lin}({
\mathfrak 
g},{
\mathfrak 
g}^{*})$ a la propriété (R) en v'. L'algèbre $
\mathfrak 
g$ a la propriété (Q) en v' si et seulement si l'indice du stabilisateur ${
\mathfrak 
g}(v')$ de v' est égal à l'indice de $
\mathfrak 
g$. Le deuxième résultat principal dit qu'une algèbre de Lie réductive a la propriété (Q) en tout point de ${
\mathfrak 
g}^{*}$.

Mots clefs : Indice, algèbre de Lie, endomorphisme linéaire, codimension, variété algébrique

Abstract:
Properties $({\bf Q})$ and $({\bf C})$. Commuting variety
Let X be a complex, smooth, irreducible algebraic variety, E and F be two finite dimensional complex vector spaces and $\mu $ be a morphism from X to the space Lin(E,F) of linear maps from E to F. For x in X, we denote by E(x) and $x\cdot E$ the kernel and the image of $\mu (x)$, and by $\overline {\!\mu }_{x}$ the morphism from X to Lin$(E(x),F/(x\cdot E))$ which associates to y the linear map $v\mapsto \mu (y)(v)+x\cdot E$. Let i${\mkern 1mu}_{\mu }$ be the smallest dimension of E(x). We say that $\mu $ has property $({\bf R})$ at x if i${\mkern 3mu}_{\overline {\!\mu }_{x}}$ is not greater than i${\mkern 1mu}_{\mu }$. Let F* be the dual of F, S(F) be the symmetric algebra of F, ${\mathcal I}_{\mu }$ be the ideal of ${\mathcal O}_{X}\otimes _{
\mathbb 
C}{\rm S}(F)$ generated by the functions $(x,v') \mapsto \langle {v'},{\mu (x)(v)}\rangle $ where v is in E and ${
\mathfrak 
C}_{\mu }$ be the subvariety of zeros in $X\times F^{*}$ of ${\mathcal I}_{\mu }$, $\sqrt {{\mathcal I}_{\mu }}$ be the radical of ${\mathcal I}_{\mu }$, $\Sigma $ be the support of $\sqrt {{\mathcal I}_{\mu }}/{\mathcal I}_{\mu }$ in $X\times F^{*}$ and S be the projection of $\Sigma $ on X. The first main result says that under two technical conditions on $\mu $, S is a closed subset of X whose codimension is at least equal to 2 if and only if the closure of the subset of points in X at which $\mu $ has not property $({\bf R})$, has codimension at least equal to 2.
Let $
\mathfrak 
g$ be a Lie algebra. We say that $
\mathfrak 
g$ has the property $({\bf C})$ at the element $\xi $ of $
\mathfrak 
g$ if the adjoint map from $
\mathfrak 
g$ to the space of linear endomorphisms of $
\mathfrak 
g$ has the property (R) at $\xi $ and that $
\mathfrak 
g$ has the property $({\bf Q})$ at the element v' of ${
\mathfrak 
g}^{*}$ if the coadjoint map from ${
\mathfrak 
g}^{*}$ to Lin$({
\mathfrak 
g},{
\mathfrak 
g}^{*})$ has the property (R) at v'. The algebra $
\mathfrak 
g$ has the property (Q) at v' if and only if the index of the stabilizer ${
\mathfrak 
g}(v')$ of v' is equal to the index of $
\mathfrak 
g$. The second main result says that any reductive Lie algebra has property (Q) at any point of ${
\mathfrak 
g}^{*}$.

Key words: Index, Lie algebra, linear endomorphism, codimension, algebraic variety

Class. math. : 14A10, 14L17, 22E20, 22E46


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique