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Bulletin de la SMF - Parutions - 132 - pages 233-261

Parutions132

Sur la rigidité de polyèdres hyperboliques en dimension 3: cas de volume fini, cas hyperidéal, cas fuchsien
Mathias Rousset
Bulletin de la Société mathématique de France 132, fascicule 2 (2004), 233-261
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Résumé :
Un polyèdre hyperbolique semi-idéal est un polyèdre dont les sommets sont dans l'espace hyperbolique $
\mathbb {H}
^{3}$ ou à l'infini. Un polyèdre hyperbolique hyperidéal est, dans le modèle projectif, l'intersection de $
\mathbb {H}
^{3}$ avec un polyèdre projectif dont les sommets sont tous en dehors de $
\mathbb {H}
^{3}$ et dont toutes les arêtes rencontrent $
\mathbb {H}
^{3}$. Nous classifions les polyèdres semi-idéaux en fonction de leur métrique duale, d'après les résultats de Rivin dans [8] (écrit avec C.D.Hodgson) et [7]. Nous utilisons ce résultat pour retrouver la classification des polyèdres hyperidéaux en terme de leur combinatoire et de leurs angles dièdres. Nous généralisons ces résultats au cas des polyèdres fuchsiens.

Mots clefs : Géomètrie hyperbolique, polyèdres, polyèdres hyperidéaux, variété fuchsienne, rigidité

Abstract:
About the Rigidity of Tridimensional Hyperbolic Polyhedra: Finite Volume Case, Hyperideal Case, Fuchsian Case
An hyperbolic semi-ideal polyhedron is a polyhedron whose vertices lie inside the hyperbolic space $
\mathbb {H}
^{3}$ or at infinity. An hyperideal polyhedron is, in the projective model, the intersection of $
\mathbb {H}
^{3}$ with a projective polyhedron whose vertices all lie outside of $
\mathbb {H}
^{3}$, and whose edges all meet $
\mathbb {H}
^{3}$. We classify semi-ideal polyhedra in terms of their dual metric, using the results of Rivin in [8] (written with C.D. Hodgson) et [7]. This result is used to obtain the classification of hyperideal polyhedra in terms of their combinatorial type and their dihedral angles. These two results are generalized to the case of fuchsian polyhedra.

Key words: Hyperbolic geometry, polyhedra, hyperideal polyhedra, fuchsian manifold, rigidity

Class. math. : 52A55, 53C45


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique