Catalogue et commandes en ligne (paiement sécurisé, VISA ou MASTERCARD uniquement)

Revues disponibles par abonnement

Annales scientifiques de l'ENS

Astérisque

Bulletin de la SMF

Mémoires de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Gazette des Mathématiciens

Séries de livres

Astérisque

Cours Spécialisés

Documents Mathématiques

Mémoires de la SMF

Panoramas et Synthèses

Séminaires et Congrès

Série Chaire Jean Morlet

SMF/AMS Texts and Monographs

La Série T

Fascicules « Journée Annuelle »

Autres livres

Donald E. Knuth - traductions françaises

Rééditions du Séminaire Nicolas Bourbaki

Rééditions des Œuvres de Jean Leray

Revue de l'Institut Elie Cartan

Editions électroniques

Annales scientifiques de l'ENS

Bulletin de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Séminaires et Congrès

Plus d'information / Abonnement

Publications grand public

L'explosion des mathématiques (smf.emath.fr)

Mathématiques L'explosion continue (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des maths (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des mathématiques et de l'informatique (smf.emath.fr)

Où en sont les mathématiques ?

La Série T

Pour les auteurs

Soumission des manuscrits

Formats et documentation

Plus d'info

Liste de diffusion électronique (smf.emath.fr)

Information pour les libraires et diffuseurs (smf.emath.fr)

Publications de la SMF
fr en
Votre numéro IP : 54.91.48.104
Accès aux édit. élec. : SémCong

Bulletin de la SMF

Présentation de la publication

Parutions

Dernières parutions

Comité de rédaction / Secrétariat

Volume :

Faire une recherche


Catalogue & commande

Bulletin de la SMF - Parutions - 132 - pages 157-199

Parutions132

Éléments réguliers et représentations de Gelfand-Graev des groupes réductifs non connexes
Karine Sorlin
Bulletin de la Société mathématique de France 132, fascicule 2 (2004), 157-199
Acheter l'ouvrage
Télécharger cet article : fichier PS / fichier PDF

Résumé :
Soient G un groupe algébrique réductif connexe défini sur $
\mathbb {F}
_q$ et F l'endomorphisme de Frobenius correspondant. Soit $\sigma $ un automorphisme rationnel quasi-central de G. Nous construisons ci-dessous l'équivalent des représentations de Gelfand-Graev du groupe $\widetilde {G}^F=G^F\!\cdot \langle \sigma \rangle $, lorsque $\sigma $ est unipotent et lorsqu'il est semi-simple. Nous montrons de plus que ces représentations vérifient des propriétés semblables à celles vérifiées par les représentations de Gelfand-Graev dans le cas connexe en particulier par rapport aux éléments réguliers.

Mots clefs : Groupes réductifs finis, groupes algébriques non connexes

Abstract:
Regular Elements and Gelfand-Graev Representations for Disconnected Reductive Groups
Let G be a connected reductive group defined over $
\mathbb {F}
_q$ and let F be the corresponding Frobenius endomorphism. Let $\sigma $ be a quasi-central automorphism of G, which means that $\sigma $ is quasi-semi-simple (i.e. $\sigma $ stabilises $(T\subset B)$ where T is a maximal torus included in a Borel subgroup B of G) and $\dim (G^\sigma )\gt\dim (G^{\sigma '})$ for any quasi-semi-simple automorphism $\sigma '= \sigma \circ {\rm ad}(g)$, where ${\rm ad}(g)$ is the conjugation by g for all $g\in G$. We suppose also that $\sigma $ is rational.

We define in this article Gelfand-Graev representations for the group $\widetilde {G}^F=G^F\!\cdot \langle \sigma \rangle $ when $\sigma $ is unipotent and when it is semi-simple, which extend the $\sigma $-stable Gelfand-Graev representations for connected reductive groups.

Let T be a $\sigma $-stable rational maximal torus of G included in a $\sigma $-stable rational Borel subgroup of G. Let U be the unipotent radical of B.

In the connected reductive case, Gelfand-Graev representations of $G^F\!$ are obtained by inducing an irreducible linear character of $U^F\!$ which is called a regular character. We define a regular character of $U^F\!{\cdot } \langle \sigma \rangle $ as the extension of a $\sigma $-stable regular character of $U^F\!$. When $\sigma $ is unipotent, $\sigma $-stable Gelfand-Graev representations of $G^F\!$ are obtained by inducing $\sigma $-stable regular characters of $U^F\!$. In this case, we define Gelfand-Graev representations of $G^F\!{\cdot }\langle \sigma \rangle $ as the representations obtained by inducing regular characters of $U^F\!{\cdot } \langle \sigma \rangle $. When $\sigma $ is semi-simple, the definition of Gelfand-Graev representations is more complicated.

Gelfand-Graev representations of $G^F\!{\cdot }\langle \sigma \rangle $ have similar properties to Gelfand-Graev representations of $G^F\!$. They are multiplicity free and their Harish-Chandra restrictions to a rational $\sigma $-stable Levi subgroup included in a rational $\sigma $-stable parabolic subgroup still are Gelfand-Graev representations. We say that an element of $G{\cdot }\sigma $ is regular if the dimension of its centralizer in G is minimal among all elements of $G{\cdot }\sigma $. The dual of any Gelfand-Graev representation of $G^F\!{\cdot }\sigma $ is zero outside regular unipotent elements of $G^F\!{\cdot }\sigma $ when $\sigma $ is unipotent (resp. outside regular pseudo-unipotent elements of $G^F\!{\cdot }\sigma $, i.e. conjugates under G of regular elements of $U{\cdot }\sigma $, when $\sigma $ is semi-simple). Moreover, Gelfand-Graev representations can be used to calculate the average value of irreducible characters of $G^F\!{\cdot }\langle \sigma \rangle $ on the set of $G^F\!$-classes of regular unipotent (resp. pseudo-unipotent) elements of $G^F\!{\cdot }\sigma $ if $\sigma $ is unipotent (resp. semi-simple). When $\sigma $ is semi-simple, the characteristic can be chosen good for $(G^\sigma )^0$ and we can get the exact values of irreducible characters of $G^F\!{\cdot }\langle \sigma \rangle $ on $G^F\!$-classes of regular pseudo-unipotent elements of $G^F\!{\cdot }\sigma $.

Key words: Finite reductive groups, disconnected algebraic groups

Class. math. : 20C33, 20G05


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique