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Bulletin de la SMF - Parutions - 132 - pages 137-156

Parutions132

On Square Functions Associated to Sectorial Operators
Christian Le Merdy
Bulletin de la Société mathématique de France 132, fascicule 1 (2004), 137-156
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Résumé :
Sur les fonctions carrées associées aux opérateurs sectoriels
Nous obtenons de nouveaux résultats sur les fonctions carrées

\begin{displaymath}
\Vert {x}\Vert _F = \Big \Vert {\Big (\int _{0}^{\infty } \b...
 ...2} \frac {\mkern 1mu {\rm d} t}{t}\Big )^{1/2}}\Big \Vert _{p} \end{displaymath}

associées à un opérateur sectoriel A sur Lp pour $1<p<\infty $. Quand A est en fait R-sectoriel, on montre des équivalences de la forme $K^{-1}\Vert {x}\Vert _{G} \leq \Vert {x}\Vert _{F}\leq K\Vert {x}\Vert _{G}$ pour des fonctions F, G appropriées. On démontre également que A possède un calcul fonctionnel $H^{\infty }$ borné par rapport à $\Vert {\, .\, }\Vert _{F}$. Puis nous appliquons nos résultats à l'étude de conditions impliquant une inégalité du type $\Vert {(\int _{0}^{\infty }\vert C{\rm e}^{-tA} (x)\vert ^2 {\rm d}t)^{1/2}\Vert }_{q} \leq M \Vert {x}\Vert _{p}$, où -A engendre un semigroupe borné ${\rm e}^{-tA}$ sur Lp et $C\colon D(A)\to L^q$ est une application linéaire.

Mots clefs : Opérateurs sectoriels, calcul fonctionnel $H^{\infty }$, fonctions carrées, R-bornitude, admissibilité

Abstract:
We give new results on square functions

\begin{displaymath}
\Vert {x}\Vert _F = \Big \Vert {\Big (\int _{0}^{\infty } \b...
 ...2} \frac {\mkern 1mu {\rm d} t}{t}\Big )^{1/2}}\Big \Vert _{p} \end{displaymath}

associated to a sectorial operator A on Lp for $1<p<\infty $. Under the assumption that A is actually R-sectorial, we prove equivalences of the form $K^{-1}\Vert {x}\Vert _{G} \leq \Vert {x}\Vert _{F}\leq K\Vert {x}\Vert _{G}$ for suitable functions F, G. We also show that A has a bounded $H^{\infty }$ functional calculus with respect to $\Vert {\, .\, }\Vert _{F}$. Then we apply our results to the study of conditions under which we have an estimate $\Vert {(\int _{0}^{\infty }\vert C{\rm e}^{-tA} (x)\vert ^2 {\rm d}t)^{1/2}\Vert }_{q} \leq M \Vert {x}\Vert _{p}$, when -A generates a bounded semigroup ${\rm e}^{-tA}$ on Lp and $C\colon D(A)\to L^q$ is a linear mapping.

Key words: Sectorial operators, $H^{\infty }$ functional calculus, square functions, R-boundedness, admissibility

Class. math. : 47A60, 47D06


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique