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Bulletin de la SMF - Parutions - 131 - pages 603-616

Parutions131

The action spectrum near positive definite invariant tori
Patrick Bernard
Bulletin de la Société mathématique de France 131, fascicule 4 (2003), 603-616
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Résumé :
Le spectre d'action au voisinage des tores invariants à torsion définie
On montre que la forme normale de Birkhoff au voisinage d'un tore KAM à torsion définie est donnée par la fonction $\alpha $ de Mather. Cette observation est due à Siburg [Si2], [Si1], en dimension 2. Elle clarifie le lien entre les coefficients de Birkhoff et le spectre d'action au voisinage du tore. Notre extension à la dimension supérieure est rendue possible par une simplification de la preuve donnée dans [Si2].

Mots clefs : Systèmes lagrangiens, théorie d'Aubry-Mather, orbites minimisantes, action moyennée, tores invariants, formes normales, spectre d'action

Abstract:
We show that the Birkhoff normal form near a positive definite KAM torus is given by the function $\alpha $ of Mather. This observation is due to Siburg [Si2], [Si1] in dimension 2. It clarifies the link between the Birkhoff invariants and the action spectrum near the torus. Our extension to high dimension is made possible by a simplification of the proof given in [Si2].

Key words: Lagrangian systems, Aubry-Mather theory, Minimizing orbits, Averaged action, Invariant torus, Normal forms, Action spectrum

Class. math. : 37J40, 37J50


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique