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Bulletin de la SMF - Parutions - 131 - pages 507-525

Parutions131

Platitude du module universel pour $\mathrm {GL}_3$ en caractéristique non banale
Joël Bellaïche - Ania Otwinowska
Bulletin de la Société mathématique de France 131, fascicule 4 (2003), 507-525
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Résumé :
Soient F un corps p-adique, $G=\mathrm {GL}_3(F)$. Pour $\chi $ un caractère de l'algèbre de Hecke sphérique de G sur un anneau commutatif k, on introduit à la suite de Serre une représentation lisse $M_\chi $ de G sur k qui gouverne la théorie des représentations non ramifiées de G sur k. Nous prouvons que $M_\chi $ est plat sur k et que si p est inversible dans k, alors pour tout sous-groupe compact ouvert suffisament petit U de G, le module $M_\chi ^U$ est libre de rang fini sur k. Ceci était conjecturé par Lazarus. Comme corollaire, nous obtenons que si k est un corps de caractéristique différente de p, $M_\chi $ a même semi-simplification que la série principale non ramifiée de caractère $\chi $, dont la structure est décrite par les travaux de Vignéras.

Mots clefs : Platitude, module universel, représentations modulaires, représentations non ramifiées, immeubles

Abstract:
Flatness of the universal module for $\mathrm {GL}_3$
Let F be a p-adic field, $G=\mathrm {GL}_3(F)$, and $\chi $ a character of the spherical Hecke algebra over a commutative ring k. We introduce, following Serre, a smooth representation of G over k which is central for the theory of unramified representation of G over k. We prove that $M_\chi $ is flat over k for arbitrary k, and that if p is invertible in k, that $M_\chi ^U$ is free of finite rank over k for U small compact open subgroup of G. This was conjectured by Lazarus. As a corollary, we obtain that if k is a field of characteristic different of p, $M_\chi $ has the same semi-simplification that the unramified principal serie with character $\chi $, whose structure is known thanks to Vignéras.

Key words: Flatness, universal module, modular representation, unramified representation, buildings

Class. math. : 20C12, 20C20


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique