Pour l'application quadratique réelle $P_a(x)=x^2+a$ et un $\epsilon >0$ donné, un point $x$ a de bonnes propriétés de dilatation si tout intervale contenant $x$ contient également un voisinage $J$ de $x$ avec $P_a^n |_{J}$ univalent, avec distortion bornée et $B(0, \epsilon )\subseteq P_a^n(J)$ pour un $n\in \mathbb {N}$. L'ensemble $\epsilon $-faiblement dilatant est l'ensemble des points qui n'ont pas de bonnes propriétes de dilatation. Notons $\alpha $ le point fixe négatif et $M$ le temps de premier retour de l'orbite critique dans $[\alpha , -\alpha ]$. Nous prouvons l'existence d'un ensemble $\mathcal R$ de paramètres de mesure de Lebesgue positive pour lesquels la dimension de Hausdorff de l'ensemble $\epsilon $-faiblement dilatant est bornée supérieurement et inférieurement par ${\log _2{M}}/{M}+{\mathcal O}({\log _2{\log _2{M}}}/{M})$ si $\epsilon $ est proche de $|\alpha |$. Pour $\epsilon \leq |\alpha |$ quelconque la dimension est de l'ordre de ${\mathcal O}({\log _2{|\log _2{\epsilon }|}}/{|\log _2{\epsilon }|}).$ Les constantes ne dependent que de $M$. Le théorème du Folklore implique alors l'existence d'une mesure de probabilité absolument continue et invariante par $P_a$ pour $a\in {\mathcal R}$ (théorème de Jakobson).