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Bulletin de la SMF - Parutions - 131 - pages 399-420

Parutions131

Dimension of Weakly Expanding Points for Quadratic Maps
Samuel Senti
Bulletin de la Société mathématique de France 131, fascicule 3 (2003), 399-420
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Résumé :
Dimension des points faiblement dilatants pour l'application quadratique
Pour l'application quadratique réelle Pa(x)=x2+a et un $\epsilon \gt$ donné, un point x a de bonnes propriétés de dilatation si tout intervale contenant x contient également un voisinage J de x avec Pan |J univalent, avec distortion bornée et $B(0, \epsilon )\subseteq P_a^n(J)$ pour un $n\in 
\mathbb {N}
$. L'ensemble $\epsilon $-faiblement dilatant est l'ensemble des points qui n'ont pas de bonnes propriétes de dilatation. Notons $\alpha $ le point fixe négatif et M le temps de premier retour de l'orbite critique dans $[\alpha , -\alpha ]$. Nous prouvons l'existence d'un ensemble ${\mathcal R}$ de paramètres de mesure de Lebesgue positive pour lesquels la dimension de Hausdorff de l'ensemble $\epsilon $-faiblement dilatant est bornée supérieurement et inférieurement par ${\log _2{M}}/{M}+{\mathcal O}({\log _2{\log _2{M}}}/{M})$ si $\epsilon $ est proche de $\vert\alpha \vert$. Pour $\epsilon \leq \vert\alpha \vert$ quelconque la dimension est de l'ordre de ${\mathcal O}({\log _2{\vert\log _2{\epsilon }\vert}}/{\vert\log _2{\epsilon }\vert}).$ Les constantes ne dependent que de M. Le théorème du Folklore implique alors l'existence d'une mesure de probabilité absolument continue et invariante par Pa pour $a\in {\mathcal R}$ (théorème de Jakobson).

Mots clefs : Application quadratique, Théorème de Jakobson, dimension de Hausdorff , partition de Markov , application de Bernoulli, expansion induite, mesure de probabilité invariante absolument continue

Abstract:
For the real quadratic map Pa(x)=x2+a and a given $\epsilon \gt$ a point x has good expansion properties if any interval containing x also contains a neighborhood J of x with Pan |J univalent, with bounded distortion and $B(0, \epsilon )\subseteq P_a^n(J)$ for some $n\in 
\mathbb {N}
$. The $\epsilon $-weakly expanding set is the set of points which do not have good expansion properties. Let $\alpha $ denote the negative fixed point and M the first return time of the critical orbit to $[\alpha , -\alpha ]$. We show there is a set ${\mathcal R}$ of parameters with positive Lebesgue measure for which the Hausdorff dimension of the $\epsilon $-weakly expanding set is bounded above and below by ${\log _2{M}}/{M}+{\mathcal O}({\log _2{\log _2{M}}}/{M})$ for $\epsilon $ close to $\vert\alpha \vert$. For arbitrary $\epsilon \leq \vert\alpha \vert$ the dimension is of the order of ${\mathcal O}({\log _2{\vert\log _2{\epsilon }\vert}}/{\vert\log _2{\epsilon }\vert}).$ Constants depend only on M. The Folklore Theorem then implies the existence of an absolutely continuous invariant probability measure for Pa with $a\in {\mathcal R}$ (Jakobson's Theorem).

Key words: Quadratic map, Jakobson's theorem, Hausdorff dimension, Markov partition, Bernoulli map, induced expansion, absolutely continuous invariant probability measure

Class. math. : 37E05, 37D25, 37D45, 37C45


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique