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Bulletin de la SMF - Parutions - 131 - pages 373-398

Parutions131

Relative exactness modulo a polynomial map and algebraic $(
\mathbb {C}
^p , +)$-actions
Philippe Bonnet
Bulletin de la Société mathématique de France 131, fascicule 3 (2003), 373-398
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Résumé :
Exactitude relative modulo une application polynomiale et actions algébriques de $(
\mathbb {C}
^p , +)$
Soit $F=(f_1,\ldots ,f_q)$ une application polynomiale dominante de $
\mathbb {C}
^n$ dans $
\mathbb {C}
^q$. Nous étudions le quotient ${\mathcal {T}}^1(F)$ des 1-formes polynomiales qui sont exactes le long des fibres génériques de F, par les 1-formes du type $\mathrm {d} R + \sum a_i \mathrm {d} f_i$, où $R,a_1,\ldots ,a_q$ sont des polynômes. Nous montrons que ${\mathcal {T}}^1(F)$ est toujours un $
\mathbb {C}
[t_1,\ldots ,t_q]$-module de torsion. Nous déterminons ensuite sous quelles conditions sur F ce module est réduit à zéro. En application, nous étudions le comportement d'une classe d'actions algébriques de $(
\mathbb {C}
^p , +)$ sur $
\mathbb {C}
^n$, et nous déterminons en particulier quand ces actions sont triviales.

Mots clefs : Géométrie affine, cohomologie relative, théorie des invariants

Abstract:
Let $F=(f_1,\ldots ,f_q)$ be a polynomial dominating map from $
\mathbb {C}
^n$ to $
\mathbb {C}
^q$. We study the quotient ${\mathcal {T}}^1(F)$ of polynomial 1-forms that are exact along the generic fibres of F, by 1-forms of type $\mathrm {d} R + \sum a_i \mathrm {d} f_i$, where $R,a_1,\ldots ,a_q$ are polynomials. We prove that ${\mathcal {T}}^1(F)$ is always a torsion $
\mathbb {C}
[t_1,\ldots ,t_q]$-module. Then we determine under which conditions on F we have ${\mathcal {T}}^1(F)=0$. As an application, we study the behaviour of a class of algebraic $(
\mathbb {C}
^p , +)$-actions on $
\mathbb {C}
^n$, and determine in particular when these actions are trivial.

Key words: Affine geometry, relative cohomology, invariant theory

Class. math. : 14R20, 14R25


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique