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Bulletin de la SMF - Parutions - 131 - pages 289-306

Parutions131

Focusing of a pulse with arbitrary phase shift for a nonlinear wave equation
Rémi Carles - David Lannes
Bulletin de la Société mathématique de France 131, fascicule 2 (2003), 289-306
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Résumé :
Focalisation d'impulsion et déphasage arbitraire pour une équation des ondes non-linéaire
Nous considérons un système de deux équations des ondes linéaires conservatives, couplées non-linéairement, en dimension trois d'espace. Pour des données initiales radiales de type impulsions courtes, les solutions focalisent à l'origine lorsque la longueur d'onde tend vers zéro. Le caractère conservatif de l'équation fait que la traversée de la caustique n'est pas triviale : nous l'analysons pour des données initiales particulières. Il ressort que le déphasage entre l'onde entrante (avant focalisation) et l'onde sortante (après focalisation) se comporte en $\ln \varepsilon $, où $\varepsilon $ représente la longueur d'onde.

Mots clefs : Optique géométrique non-linéaire, impulsions courtes, caustique, scattering longue portée

Abstract:
We consider a system of two linear conservative wave equations, with a nonlinear coupling, in space dimension three. Spherical pulse like initial data cause focusing at the origin in the limit of short wavelength. Because the equations are conservative, the caustic crossing is not trivial, and we analyze it for particular initial data. It turns out that the phase shift between the incoming wave (before the focus) and the outgoing wave (past the focus) behaves like $\ln \varepsilon $, where $\varepsilon $ stands for the wavelength.

Key words: Nonlinear geometric optics, short pulses, caustic, long range scattering

Class. math. : Primary 35B40. Secondary 35L70, 35P25


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique