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Bulletin de la SMF - Parutions - 130 - pages 603-618

Parutions130

Symmetries of the nonlinear Schrödinger equation
Benoît Grébert - Thomas Kappeler
Bulletin de la Société mathématique de France 130, fascicule 4 (2002), 603-618
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Résumé :
Symétries de l'équation de Schrödinger non linéaire
Les symétries de l'équation de Schrödinger nonlinéaire sont exprimées dans les variables action-angles et caractérisées à l'aide du spectre périodique et du spectre de Dirichlet du système de Zakharov-Shabat associé. Comme application, nous démontrons la conjecture suivante : le spectre périodique $\cdots < \lambda ^-_k \leq \lambda ^+_k < \lambda ^-_{k + 1} \leq \cdots $ de l'opérateur de Zakharov-Shabat est symétrique, i.e. $\lambda ^\pm _k = - \lambda ^\mp _{-k}$ pour tout k, si et seulement si la suite $(\gamma _k)_{k\in 
\mathbb {Z}
}$ des longueurs des intervalles d'instabilité, $\gamma _k:= \lambda ^+_k - \lambda ^-_k$, est symétrique par rapport à k=0.

Mots clefs : Équation NLS, opérateur de Zakharov-Shabat, variables action-angles, symétries

Abstract:
Symmetries of the defocusing nonlinear Schrödinger equation are expressed in action-angle coordinates and characterized in terms of the periodic and Dirichlet spectrum of the associated Zakharov-Shabat system. Application: proof of the conjecture that the periodic spectrum $\cdots < \lambda ^-_k \leq \lambda ^+_k < \lambda ^-_{k + 1} \leq \cdots $ of a Zakharov-Shabat operator is symmetric, i.e. $\lambda ^\pm _k = - \lambda ^\mp _{-k}$ for all k, if and only if the sequence $(\gamma _k)_{k\in 
\mathbb {Z}
}$ of gap lengths, $\gamma _k:= \lambda ^+_k - \lambda ^-_k$, is symmetric with respect to k=0.

Key words: NLS equation, Zakharov-Shabat operators, action-angle variables, symmetries

Class. math. : 35Q55, 37K10, 37L20, 34A55


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique