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Bulletin de la SMF - Parutions - 130 - pages 409-456

Parutions130

Surfaces kählériennes de volume fini et équations de Seiberg-Witten
Yann Rollin
Bulletin de la Société mathématique de France 130, fascicule 3 (2002), 409-456
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Résumé :
Soit $M=
\mathbb {P}
(\mathcal E)$ une surface complexe réglée. Nous introduisons des métriques de volume fini sur M dons les singularités sont paramétrisées par une structure parabolique sur le fibré $\mathcal {E}$. Nous généralisons alors un résultat de Burns-deBartolomeis et LeBrun, en montrant que l'existence de métriques kählériennes singulières, de volume fini, à courbure scalaire constante négative ou nulle sur M est équivalente à une condition de polystabilité parabolique sur $\mathcal {E}$; de plus ces métriques proviennent toutes de quotients de volume fini de $
\mathbb {H}
^2\times 
\mathbb {CP}
^1$. En outre nous produisons une solution des équations de Seiberg-Witten pour une métrique singulière de volume fini afin de démontrer ce théorème.

Mots clefs : Seiberg-Witten, surfaces réglées, métriques de Kähler, fibrés paraboliques, stabilité

Abstract:
Kähler surfaces of finite volume and Seiberg-Witten equations
Let $M=
\mathbb {P}
(\mathcal E)$ be a complex ruled surface. We introduce metrics of finite volume on M whose singularities are parametrized by a parabolic structure over $\mathcal {E}$. Then, we generalise results of Burns-de Bartolomeis and LeBrun, by showing that the existence of a singular Kähler metric of finite volume and constant non positive scalar curvature on M is equivalent to the parabolic polystability of $\mathcal {E}$; moreover these metrics all come from finite volume quotients of $
\mathbb {H}
^2\times 
\mathbb {CP}
^1$. Therefore, we produce a solution of Seiberg-Witten equations for a singular metric g of finite volume in order to prove the theorem.

Key words: Seiberg-Witten, ruled surfaces, Kaehler metrics, parabolic bundles, stability

Class. math. : 53C20, 53C24, 32L05, 14D21


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique