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Bulletin de la SMF - Parutions - 130 - pages 35-48

Parutions130

An approximation property of quadratic irrationals
Takao Komatsu
Bulletin de la Société mathématique de France 130, fascicule 1 (2002), 35-48
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Résumé :
Une approximation des irrationnels quadratiques
Soit $\alpha \gt 1$ un irrationnel. Plusieurs auteurs ont étudié les nombres

\begin{displaymath}
{\ell ^m(\alpha )=\inf \{\, \vert y\vert:y\in \Lambda _m,\, y\ne 0\}}, \end{displaymath}

m est un entier positif et $\Lambda _m$ est l'ensemble de tous les réels de la forme $y=\epsilon _0\alpha ^n+\epsilon _1\alpha ^{n-1}+\cdots +\epsilon _{n-1}\alpha +\epsilon _n$ avec des $\vert\epsilon _i\vert\le m$ entiers. La valeur de $\ell ^1(\alpha )$ a été précisée pour beaucoup de nombres de Pisot et $\ell ^m(\alpha )$ pour le nombre d'or. Dans cet article, on détermine $\ell ^m(\alpha )$ lorsque $\alpha $ est un irrationnel qui satisfait $\alpha ^2=a\alpha \pm 1$ avec a entier positif.

Mots clefs : Propriété d'approximation, nombres quadratiques irrationnels, fractions continues

Abstract:
Let $\alpha \gt 1$ be irrational. Several authors studied the numbers

\begin{displaymath}
{\ell ^m(\alpha )=\inf \{\, \vert y\vert:y\in \Lambda _m,\, y\ne 0\}}, \end{displaymath}

where m is a positive integer and $\Lambda _m$ denotes the set of all real numbers of the form $y=\epsilon _0\alpha ^n+\epsilon _1\alpha ^{n-1}+\cdots +\epsilon _{n-1}\alpha +\epsilon _n$ with restricted integer coefficients $\vert\epsilon _i\vert\le m$. The value of $\ell ^1(\alpha )$ was determined for many particular Pisot numbers and $\ell ^m(\alpha )$ for the golden number. In this paper the value of $\ell ^m(\alpha )$ is determined for irrational numbers $\alpha $, satisfying $\alpha ^2=a\alpha \pm 1$ with a positive integer a.

Key words: Approximation property, quadratic irrationals, continued fractions

Class. math. : 11A63, 11J04, 11J70


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique