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Bulletin de la SMF - Parutions - 130 - pages 337-347

Parutions130

On the size of the sets of gradients of bump functions and starlike bodies on the Hilbert space
Daniel Azagra - Mar Jiménez-Sevilla
Bulletin de la Société mathématique de France 130, fascicule 3 (2002), 337-347
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Résumé :
Sur la taille des ensembles de dérivées des fonctions bosses et des hyperplans tangents aux corps étoilés dans l'espace de Hilbert
On étudie la taille des ensembles de dérivées des fonctions bosses sur l'espace de Hilbert $\ell _2$, ainsi que celle de l'ensemble des hyperplans tangents à un corps étoilé dans $\ell _2$. On trouve que ces ensembles peuvent être assez petits. D'un côté, la norme de l'espace de Hilbert peut s'approximer uniformément par des fonctions de classe C1 et lipschitziennes $\psi $ telles que les cônes générés par les images des dérivées $\psi '(\ell _2)$ sont d'intérieur vide. Cela entraîne l'existence de fonctions de classe C1 et lipschitziennes dont les cônes générés par les images des dérivées sont d'intérieur vide. On construit d'autre part des corps étoilés bornés lisses de classe C1 et lipschitziens dont les cônes générés par leurs hyperplans tangents sont d'intérieur vide. On montre aussi pourquoi ces résultats constituent la meilleure réponse à ces questions que l'on puisse espérer.

Mots clefs : Dérivées, hyperplans tangents, fonctions bosses, corps étoilés

Abstract:
We study the size of the sets of gradients of bump functions on the Hilbert space $\ell _2$, and the related question as to how small the set of tangent hyperplanes to a smooth bounded starlike body in $\ell _2$ can be. We find that those sets can be quite small. On the one hand, the usual norm of the Hilbert space $\ell _2$ can be uniformly approximated by C1 smooth Lipschitz functions $\psi $ so that the cones generated by the ranges of its derivatives $\psi '(\ell _2)$ have empty interior. This implies that there are C1 smooth Lipschitz bumps in $\ell _2$ so that the cones generated by their sets of gradients have empty interior. On the other hand, we construct C1-smooth bounded starlike bodies $A\subset \ell _2$, which approximate the unit ball, so that the cones generated by the hyperplanes which are tangent to A have empty interior as well. We also explain why this is the best answer to the above questions that one can expect.

Key words: Gradient, bump function, starlike body

Class. math. : 46B20, 58B99


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique