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Bulletin de la SMF - Parutions - 130 - pages 169-209

Parutions130

Problème de Plateau complexe dans les variétés kählériennes
Frédéric Sarkis
Bulletin de la Société mathématique de France 130, fascicule 2 (2002), 169-209
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Résumé :
L'étude du « problème de Plateau complexe » (ou « problème du bord » ) dans une variété complexe X consiste à caractériser les sous-variétés réelles $\Gamma $ de X qui sont le bord de sous-ensembles analytiques de $X\backslash \Gamma $. Notre principal résultat traite le cas $X= U \times \omega $U est une variété complexe connexe et $\omega $ est une variété kählérienne disque convexe. Comme conséquence, nous obtenons des résultats de Harvey-Lawson [19], Dolbeault-Henkin [12] et Dinh [10]. Nous obtenons aussi une généralisation des théorèmes de Hartogs-Levi et Hartogs-Bochner. Finalement, nous montrons qu'une structure CR strictement pseudo-convexe plongeable dans une variété kählérienne disque-convexe est plongeable dans $
\mathbb {C}
^n$ si et seulement si elle admet une fonction CR non constante.

Mots clefs : Problème du bord, problème de Plateau complexe, variété kählérienne, extension du type Hartogs, plongement CR, structure CR

Abstract:
Complex Plateau problem in Kähler manifolds
The ``complex Plateau problem'' (or ``boundary problem'') in a complex manifold X is the problem of characterizing the real submanifolds $\Gamma $ of X which are boundaries of analytic subvarieties of $X\backslash \Gamma $. Our principal result treats the case $X= U \times \omega $ where U is a connected complex manifold and $\omega $ is a disk-convex Kähler manifold. As a consequence, we obtain results of Harvey-Lawson [19], Dolbeault-Henkin [12] and Dinh [10]. We also give a generalization of Hartogs-Levi and Hartogs-Bochner theorems. Finally, we prove that a strictly pseudoconvex CR structure embeddable in a disk-convex Kähler manifold is embeddable in $
\mathbb {C}
^n$ if and only if it has a non constant CR function.

Key words: Boundary problem, complex Plateau problem, Kähler manifold, Hartogs type extension, CR embedding, CR structure

Class. math. : 32F25, 32F40, 32D15, 32C30


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique