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Bulletin de la SMF - Parutions - 130 - pages 1-33

Parutions130

Résultats sur la conjecture de dualité étrange sur le plan projectif
Gentiana Danila
Bulletin de la Société mathématique de France 130, fascicule 1 (2002), 1-33
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Résumé :
La conjecture de « dualité étrange » de Le Potier donne un isomorphisme entre l'espace des sections du fibré déterminant sur deux espaces de modules différents de faisceaux semi-stables sur le plan projectif $
\mathbb {P}
_2$. On considère deux classes orthogonales c,u dans l'algèbre de Grothendieck ${\rm K}(
\mathbb {P}
_2)$ telles que c est de rang strictement positif et u est de rang zéro, et on note ${\rm M}_c$ et ${\rm M}_u$ les espaces de modules de faisceaux semi-stables de classe c, respectivement u sur $
\mathbb {P}
_2$. Il existe sur ${\rm M}_c$ (resp. ${\rm M}_u$) un fibré déterminant inversible $\mathcal {D}_u$ (resp. $\mathcal {D}_c$) et le produit tensoriel externe $\mathcal {D}_c\boxtimes \mathcal {D}_c$ sur l'espace produit ${\rm M}_c\boxtimes {\rm M}_c$ a une section canonique $\sigma _{c,u}$ qui fournit une application linéaire $\mathcal {D}_{c,u}:{\rm H}^0({\rm M}_u,\mathcal {D}_c)^*\to {\rm H}^0({\rm M}_c,\mathcal {D}_u)$. Si ${\rm M}_c$ n'est pas vide, la conjecture affirme que $\mathcal {D}_{c,u}$ est un isomorphisme. Nous prouvons la conjecture dans le cas particulier où c est de rang 2, première classe de Chern nulle et deuxième classe de Chern $c_2(c)=n\le 5$, et u est de degré $d(u)\le 3$ et caractéristique d'Euler-Poincaré nulle. Nous donnons la série génératrice $P(t)=\sum _{k\ge 0}t^kh^0({\rm M}_c,\mathcal {D}_u^{\otimes k})$ pour c2(c)=3, c2(c)=4, d(u)=1, pour les classes c et u considérées ci-dessus.

Mots clefs : Espaces de modules, fibré déterminant, dualité étrange, séries génératrices

Abstract:
Results on the Strange Duality Conjecture on the Projective Plane
Le Potier's `Strange Duality' conjecture gives an isomorphism between the space of sections of the determinant bundle on two different moduli spaces of semi-stable sheaves on the complex projective plane $
\mathbb {P}
_2$. We consider two orthogonal classes c,u in the Grothendieck algebra ${\rm K}(
\mathbb {P}
_2)$ such that c is of positive rank and u of rank zero, and we call ${\rm M}_c$ and ${\rm M}_u$ the moduli spaces of semi-stable sheaves of class c, respectively u on $
\mathbb {P}
_2$. There exists on ${\rm M}_c$ (resp. ${\rm M}_u$) a determinant bundle $\mathcal {D}_u$ (resp. $\mathcal {D}_c$) and the product fibre bundle $\mathcal {D}_c\boxtimes \mathcal {D}_c$ on the product space ${\rm M}_c\boxtimes {\rm M}_c$ has a canonical section $\sigma _{c,u}$ which provides a linear application $\mathcal {D}_{c,u}:{\rm H}^0({\rm M}_u,\mathcal {D}_c)^*\to {\rm H}^0({\rm M}_c,\mathcal {D}_u)$. If ${\rm M}_c$ is not empty, $\mathcal {D}_{c,u}$ is conjectured to be an isomorphism. We prove the conjecture in the particular case where c is of rank 2, zero first Chern class and second Chern class $c_2(c)\le 5$, and u is of degree $d(u)\le 3$ and zero Euler-Poincaré characteristic. In addition we give the generating series $P(t)=\sum _{k\ge 0}t^kh^0({\rm M}_c,\mathcal {D}_u^{\otimes k})$ for c2(c)=3, c2(c)=4, d(u)=1, for the particular classes c and u considered above.

Key words: Moduli spaces, determinant bundle, strange duality, generating series

Class. math. : 14D20, 14F05, 14J60


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique