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Bulletin de la SMF - Parutions - 129 - pages 505-542

Parutions129

A mean-value lemma and applications
Alessandro Savo
Bulletin de la Société mathématique de France 129, fascicule 4 (2001), 505-542
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Résumé :
Un lemme de valeur moyenne et quelques applications
On contrôle l'écart entre la valeur moyenne d'une fonction sur une sous-variété d'une variété riemannienne, et sa valeur moyenne sur un voisinage tubulaire autour de la sous-variété (on donne, en effet, la valeur exacte de la dérivée seconde de cet écart). On applique ensuite cette formule afin d'obtenir des théorèmes de comparaison pour les valeurs propres et les fonctions propres de l'opérateur de Laplace-Beltrami, et pour calculer les trois premiers termes du développement asymptotique relatif à un problème de diffusion de la chaleur sur les polyèdres convexes dans un espace euclidien de dimension quelconque. On donne enfin des bornes explicites des restes du développement susdit, qui sont valable pour toute valeur du temps. Les résultats de cet article ont été annoncés (sans démonstrations) dans [16].

Mots clefs : Fonction distance, valeurs propres de l'operateur de Laplace, equation de la chaleur, developpements asymptotiques

Abstract:
We control the gap between the mean value of a function on a submanifold (or a point), and its mean value on any tube around the submanifold (in fact, we give the exact value of the second derivative of the gap). We apply this formula to obtain comparison theorems between eigenvalues of the Laplace-Beltrami operator, and then to compute the first three terms of the asymptotic time-expansion of a heat diffusion process on convex polyhedrons in euclidean spaces of arbitrary dimension. We also write explicit bounds for the remainder term of the above expansion, which hold for all values of time. The results of this paper have been announced, without proof, in [16].

Key words: Distance function, eigenvalues of the Laplace operator, heat equation, asymptotic expansions

Class. math. : 58J35, 58J50, 35P15


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique