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Bulletin de la SMF - Parutions - 129 - pages 317-338

Parutions129

Local-global divisibility of rational points in some commutative algebraic groups
Roberto Dvornicich - Umberto Zannier
Bulletin de la Société mathématique de France 129, fascicule 3 (2001), 317-338
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Résumé :
Divisibilité locale-globale des points rationnels en certains groupes algébriques commutatifs
Pour un groupe algébrique commutatif ${\mathcal A}$, défini sur un corps de nombres k, on se pose la question suivante: étant donnés un entier r strictement positif et un élément P de ${\mathcal A}(k)$, on suppose que pour tout premier v de k, à l'exception d'au plus d'un nombre fini, il existe un élément Dv de ${\mathcal A}(k_v)$ avec P=rDv. Peut-on en déduire l'existence d'un élément D de ${\mathcal A}(k)$ tel que l'on ait P=rD? Une réponse complète à cette question est bien connue dans le cas où ${\mathcal A}$ est le groupe multiplicatif ${
\mathbb 
G}_m$. Nous étudions d'autres cas particuliers. Nous obtenons notamment une réponse affirmative dans le cas où r est un nombre premier et où ${\mathcal A}$ est, soit une courbe elliptique, soit un tore de dimension petite par rapport à r. En outre, nous montrons par un exemple que, dans le cas où ${\mathcal A}$ est un tore de dimension arbitraire, la réponse peut être négative, même si r est un nombre premier.

Mots clefs : Problèmes de rationalité, points rationnels

Abstract:
Let ${\mathcal A}$ be a commutative algebraic group defined over a number field k. We consider the following question: Let r be a positive integer and let $P\in \mathcal {A}(k)$. Suppose that for all but a finite number of primes v of k, we have P=rDv for some $D_v\in \mathcal {A}(k_v)$. Can one conclude that there exists $D\in \mathcal {A}(k)$ such that P=rD? A complete answer for the case of the multiplicative group ${
\mathbb 
G}_m$ is classical. We study other instances and in particular obtain an affirmative answer when r is a prime and ${\mathcal A}$ is either an elliptic curve or a torus of small dimension with respect to r. Without restriction on the dimension of a torus, we produce an example showing that the answer can be negative even when r is a prime.

Key words: Rationality questions, rational points

Class. math. : 14G05


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique