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Bulletin de la SMF - Parutions - 129 - pages 285-316

Parutions129

Profile decomposition for solutions of the Navier-Stokes equations
Isabelle Gallagher
Bulletin de la Société mathématique de France 129, fascicule 2 (2001), 285-316
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Résumé :
Décomposition en profils pour les solutions des équations de Navier-Stokes
On considère des suites de solutions des équations de Navier-Stokes dans ${
\mathbb 
R}^3$, associées à des suites de données initiales bornées dans $\dot H^{1/2}$. On montre, dans l'esprit du travail de H.Bahouri et P.Gérard (dans le cas de l'équation des ondes), qu'elles peuvent être décomposées en une somme de profils orthogonaux, bornés dans $\dot H^{1/2}$, à un terme de reste près, petit dans L3; la méthode s'appuie sur la démonstration d'un résultat analogue pour l'équation de la chaleur, suivi d'un argument de perturbation. Si ${\mathcal A}$ est un espace « admissible » (en particulier L3, $\dot B^{-1+3/p}_{p,\infty }$ pour $p < +\infty $ ou $\nabla {B\mkern -1mu M\mkern -1mu O} $), et si ${\mathcal B}_{_{\!{N\mkern -2mu S}}}^{{\mathcal A}}$ est la plus grande boule de de ${\mathcal A}$ centrée en zéro, telle que les éléments de $\dot H^{1/2}\cap {\mathcal B}_{_{\!{N\mkern -2mu S}}}^{{\mathcal A}}$ génèrent des solutions globales, alors on obtient en corollaire une estimation a priori pour ces solutions. On montre aussi que l'application associant une donnée dans $\dot H^{1/2}\cap {\mathcal B}_{_{\!{N\mkern -2mu S}}}^{{\mathcal A}}$ à sa solution est lipschitzienne.

Mots clefs : Navier-Stokes, explosion, profils, estimation a priori, espace admissible

Abstract:
We consider sequences of solutions of the Navier-Stokes equations in ${
\mathbb 
R}^3$, associated with sequences of initial data bounded in $\dot H^{1/2}$. We prove, in the spirit of the work of H.Bahouri and P.Gérard (in the case of the wave equation), that they can be decomposed into a sum of orthogonal profiles, bounded in $\dot H^{1/2}$, up to a remainder term small in L3; the method is based on the proof of a similar result for the heat equation, followed by a perturbation-type argument. If ${\mathcal A}$ is an ``admissible'' space (in particular L3, $\dot B^{-1+3/p}_{p,\infty }$ for $p < +\infty $ or $\nabla {B\mkern -1mu M\mkern -1mu O} $), and if ${\mathcal B}_{_{\!{N\mkern -2mu S}}}^{{\mathcal A}}$ is the largest ball in ${\mathcal A}$ centered at zero such that the elements of $\dot H^{1/2}\cap {\mathcal B}_{_{\!{N\mkern -2mu S}}}^{{\mathcal A}}$ generate global solutions, then we obtain as a corollary an a priori estimate for those solutions. We also prove that the mapping from data in $\dot H^{1/2}\cap {\mathcal B}_{_{\!{N\mkern -2mu S}}}^{{\mathcal A}}$ to the associate solution is Lipschitz.

Key words: Navier-Stokes, explosion, profiles, a priori estimate, admissible space

Class. math. : 35B45, 35Q30, 76D05


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique