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Bulletin de la SMF - Parutions - 129 - pages 159-168

Parutions129

Growth of a primitive of a differential form
Jean-Claude Sikorav
Bulletin de la Société mathématique de France 129, fascicule 2 (2001), 159-168
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Résumé :
Croissance d'une primitive d'une forme différentiable
Pour qu'une forme différentielle exacte sur une variété riemannienne M ait une primitive majorée par une fonction f donnée, il faut d'après Stokes satisfaire une certaine inégalité isopérimétrique pondérée. Nous montrons une réciproque à des constantes près si la variété est à géométrie bornée. Pour une forme volume, l'inégalité ($\vert\Omega \vert\le \int _{\partial \Omega }\,f{\rm d}\sigma $ pour tout domaine compact $\Omega \subset M$) suffit. Ceci implique en particulier le résultat « bien connu » que si M est le revêtement universel d'une variété riemannienne compacte à groupe fondamental non moyennable, la forme volume a une primitive bornée. Grâce à un théorème récent d'A.$\dot {\rm Z}$uk, nous obtenons aussi que si le groupe fondamental est infini, la forme volume a toujours une primitive à croisssance linéaire.

Mots clefs : forme différentielle exacte, inégalités isopérimétriques, géométrie bornée

Abstract:
For an exact differential form on a Riemannian manifold to have a primitive bounded by a given function f, by Stokes it has to satisfy some weighted isoperimetric inequality. We show the converse up to some constants if M has bounded geometry. For a volume form, it suffices to have the inequality ($\vert\Omega \vert\le \int _{\partial \Omega }\,f{\rm d}\sigma $ for every compact domain $\Omega \subset M$). This implies in particular the ``well-known'' result that if M is the universal covering of a compact Riemannian manifold with non-amenable fundamental group, then the volume form has a bounded primitive. Thanks to a recent theorem of A.$\dot {\rm Z}$uk, we also obtain that if the fundamental group is infinite, the volume form always has a primitive with linear growth.

Key words: Exact differential form, isoperimetric inequalities, bounded geometry

Class. math. : 58A10, 53C20, 57R05


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique