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Croissance d'une primitive d'une forme différentiable

Growth of a primitive of a differential form

Jean-Claude Sikorav
Croissance d'une primitive d'une forme différentiable
  • Année : 2001
  • Fascicule : 2
  • Tome : 129
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 58A10, 53C20, 57R05
  • Pages : 159-168
  • DOI : 10.24033/bsmf.2390
Pour qu'une forme différentielle exacte sur une variété riemannienne $M$ ait une primitive majorée par une fonction $f$ donnée, il faut d'après Stokes satisfaire une certaine inégalité isopérimétrique pondérée. Nous montrons une réciproque à des constantes près si la variété est à géométrie bornée. Pour une forme volume, l'inégalité ($|\Omega |\le \int _{\partial \Omega }\,f{\rm d}\sigma $ pour tout domaine compact $\Omega \subset M$) suffit. Ceci implique en particulier le résultat « bien connu »que si $M$ est le revêtement universel d'une variété riemannienne compacte à groupe fondamental non moyennable, la forme volume a une primitive bornée. Grâce à un théorème récent d'A. $\dot {\rm Z}$uk, nous obtenons aussi que si le groupe fondamental est infini, la forme volume a toujours une primitive à croisssance linéaire.
For an exact differential form on a Riemannian manifold to have a primitive bounded by a given function $f$, by Stokes it has to satisfy some weighted isoperimetric inequality. We show the converse up to some constants if $M$ has bounded geometry. For a volume form, it suffices to have the inequality ($|\Omega |\le \int _{\partial \Omega }\,f{\rm d}\sigma $ for every compact domain $\Omega \subset M$). This implies in particular the “well-known” result that if $M$ is the universal covering of a compact Riemannian manifold with non-amenable fundamental group, then the volume form has a bounded primitive. Thanks to a recent theorem of A. $\dot {\rm Z}$uk, we also obtain that if the fundamental group is infinite, the volume form always has a primitive with linear growth.
forme différentielle exacte, inégalités isopérimétriques, géométrie bornée
Exact differential form, isoperimetric inequalities, bounded geometry


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