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Bulletin de la SMF - Parutions - 128 - pages 87-101

Parutions128

Sur le système local de Gauss-Manin d'un polynôme de deux variables
Gilles Bailly-Maitre
Bulletin de la Société mathématique de France 128, fascicule 1 (2000), 87-101
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Résumé :
L'objet de cet article est d'étudier le système local de Gauss-Manin $\mathbf {V=}R^{1}f_{*}
\mathbb {C}
_{X}$ associé à un polynôme f de deux variables. On utilise une compactification lisse des fibres de f pour obtenir une suite exacte $0\to \mathbf {\overline {V}\rightarrow V\rightarrow V}^{\infty } \rightarrow 0$. Les propriétés connues de $\mathbf {\overline {V}}$ et de $\mathbf {V}^{\infty }$ en impliquent de nouvelles sur $\mathbf {V}$. On montre notamment que $\mathbf {V}$ n'est pas semi-simple en général. On introduit ensuite la notion de bases spéciales de la fibre de $\mathbf {V}$ dans lesquelles on peut décrire de manière élégante la représentation de monodromie associée à $\mathbf {V}$.

Mots clefs : monodromie, Gauss-Manin, polynôme

Abstract:
About the Gauss-Manin local system associated to a polynomial of two complexes variables
This paper is dedicated to the study of the Gauss-Manin local system $\mathbf {V=}R^{1}f_{*}
\mathbb {C}
_{X}$ associated to a polynomial of two variables. We use a smooth compactification of the fibres of f in order to obtain a short exact sequence ${0\to \mathbf {\overline {V}\rightarrow V\rightarrow V}^{\infty }\mathbf {\rightarrow }0}$. The well-known properties of $\mathbf {\overline {V}}$ and $\mathbf {V}^{\infty }$ imply some new ones on $\mathbf {V}$. In particular, we show that $\mathbf {V}$ is not semi-simple in general. We introduce specials bases of the fiber of $\mathbf {V}$ which are convenient for the description of the linear representation of monodromy associated to $\mathbf {V}$.

Class. math. : 14 D 07, 14 F 45, 32 S 40


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique