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Bulletin de la SMF - Parutions - 128 - pages 69-85

Parutions128

Linearization of Analytic and Non-Analytic Germs of Diffeomorphisms of $({
\mathbb 
C},0)$
Timoteo Carletti - Stefano Marmi
Bulletin de la Société mathématique de France 128, fascicule 1 (2000), 69-85
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Résumé :
Linéarisation de germes de difféomorphismes analytiques et non analytiques de $({
\mathbb 
C},0)$
Nous étudions le problème du centre de Siegel sur la linéarisabilité des germes de difféomorphismes d'une variable. Aux problèmes classiques de linéarisation formelle et analytique nous ajoutons des conditions suffisantes pour que la linéarisation appartienne à certaines algèbres de germes ultradifférentiables qui sont fermées par composition et dérivation et qui incluent les classes de Gevrey. Dans le cas analytique nous donnons une réponse positive à une question posée par J.-C. Yoccoz sur l'optimalité des estimations obtenues par la méthode classique des séries majorantes. Dans le cas ultradifférentiable nous prouvons que la condition de Brjuno est suffisante pour que la linéarisation appartienne à la même classe que le germe. Si on admet que la linéarisation soit moins régulière que le germe on trouve des nouvelles conditions arithmétiques, plus faibles que la condition de Brjuno. Nous donnons une courte discussion de l'optimalité des résultats obtenus.

Abstract:
We study Siegel's center problem on the linearization of germs of diffeomorphisms in one variable. In addition of the classical problems of formal and analytic linearization, we give sufficient conditions for the linearization to belong to some algebras of ultradifferentiable germs closed under composition and derivation, including Gevrey classes. In the analytic case we give a positive answer to a question of J.-C. Yoccoz on the optimality of the estimates obtained by the classical majorant series method. In the ultradifferentiable case we prove that the Brjuno condition is sufficient for the linearization to belong to the same class of the germ. If one allows the linearization to be less regular than the germ one finds new arithmetical conditions, weaker than the Brjuno condition. We briefly discuss the optimality of our results.

Key words: Siegel's center problem, small divisors, Gevrey classes

Class. math. : 05 C 38, 15 A 15, 05 A 15, 15 A 18


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique