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Bulletin de la SMF - Parutions - 128 - pages 599-654

Parutions128

Chirurgie croisée
Peter Haïssinsky
Bulletin de la Société mathématique de France 128, fascicule 4 (2000), 599-654
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Résumé :
Cet article est consacré à l'étude du croisement de polynômes : il s'agit d'une chirurgie qui combine la dynamique de plusieurs polynômes en un seul. On en donne une définition précise et on étudie ses propriétés géométriques et topologiques. On montre d'abord l'existence de tels polynômes dans de nombreux cas par chirurgie. Pour ces cas, on montre que la construction conduit à un unique polynôme à conjugaison affine près. On étudie ensuite ses propriétés topologiques via un modèle (conjugué au croisement lorsque celui-ci existe). On s'intéresse aussi au problème inverse : comment reconnaît-on qu'un polynôme est un croisement ? Enfin, en utilisant la théorie de Mañé-Sad-Sullivan, on peut montrer, avec quelques hypothèses supplémentaires, que le croisement dépend continûment des polynômes croisés. Ces résultats sont appliqués à la famille cubique. En appendice, une version faible d'applications à allure polynomiale est étudiée.

Mots clefs : dynamique conforme, chirurgie, applications quasiconformes et $\mu $-conformes

Abstract:
Intertwining surgery
This paper deals with intertwining: this is a surgery which combines the dynamics of different complex polynomials into a single one of larger degree. We give a precise definition of it and study its geometric and topological properties. We first prove its existence in many cases by surgery. For these cases, it is proved that the definition yields a unique map up to conformal conjugacy. We then study its topological properties through a topological model (conjugate to its conformal counterpart if it exists). Afterwards, we provide a partial answer to when a polynomial can be reduced to the intertwining of polynomials. We are also capable, using Mãné-Sad-Sullivan theory, to show that intertwining depends continuously from the former polynomials, with some extra assumptions. As an application, we study the degree three connectedness locus, and especially the family having a fixed critical point. In the appendix we study a loose definition of polynomial-like mappings which involves non-quasiconformal maps.

Class. math. : 37  Fxx


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique