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Bulletin de la SMF - Parutions - 128 - pages 585-598

Parutions128

Diophantine approximation and deformation
Minhyong Kim - Dinesh S. Thakur - José Felipe Voloch
Bulletin de la Société mathématique de France 128, fascicule 4 (2000), 585-598
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Résumé :
Approximation diophantienne et déformation
Alors que l'analogue du théorème de Liouville sur l'approximation diophantienne se conserve en caractéristique finie, il est bien connu que l'analogue du théorème de Roth échoue lamentablement. En associant à des séries de puissances algébriques données certaines courbes sur les corps de fonctions, nous prouvons que des bornes pour le rang de l'application de Kodaira-Spencer de cette courbe impliquent des bornes pour les exposants d'approximation diophantienne de la série, les courbes « génériques » (dans le sens de déformation) donnant les plus petits exposants. Si nous transportons - en ajoutant une condition de déformation appropriée - en caractéristique finie la conjecture de Vojta sur l'inégalité de la hauteur, alors nous voyons que les nombres qui donnent les courbes génériques approchent la borne de Roth. Nous prouvons également une hiérarchie des bornes pour les exposants pour l'approximation par des quantités algébriques de degré borné.

Abstract:
It is well-known that while the analogue of Liouville's theorem on diophantine approximation holds in finite characteristic, the analogue of Roth's theorem fails quite badly. We associate certain curves over function fields to given algebraic power series and show that bounds on the rank of Kodaira-Spencer map of this curves imply bounds on the diophantine approximation exponents of the power series, with more `generic' curves (in the deformation sense) giving lower exponents. If we transport Vojta's conjecture on height inequality to finite characteristic by modifying it by adding suitable deformation theoretic condition, then we see that the numbers giving rise to general curves approach Roth's bound. We also prove a hierarchy of exponent bounds for approximation by algebraic quantities of bounded degree.

Key words: diophantine approximation, deformation, positive characteristic, Kodaira-Spencer, Riccati

Class. math. : 11 J 04, 11 J 61, 11 J 68, 13 D 10, 14 D 10, 41 A 20


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique