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Bulletin de la SMF - Parutions - 128 - pages 451-471

Parutions128

Équidistribution presque partout modulo 1 de suites oscillantes perturbées
Benoît Rittaud
Bulletin de la Société mathématique de France 128, fascicule 3 (2000), 451-471
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Résumé :
Soient (hn)n une suite de nombre réels, F une fonction réelle $
\mathbb {Z}
^d$-périodique définie sur ${
\mathbb 
R} ^d$ et $\Theta $ un vecteur de ${
\mathbb 
R} ^d$. Sous des conditions de croissance de (hn)n, des conditions de régularité sur F et, dans certains cas, des conditions diophantiennes sur $\Theta $, nous démontrons que la suite $(th_nF(n\Theta ))_n$ est équidistribuée modulo 1 pour presque tout nombre réel t. Des versions « perturbatives » de ce résultat sont également établies. Ces résultats permettent de démontrer la convergence ponctuelle de certaines moyennes ergodiques non conventionnelles associées à des endomorphismes du tore de dimension d.

Mots clefs : équidistribution modulo 1, moyennes ergodiques diagonales, type diophantien, discrépance

Abstract:
Uniform distribution almost everywhere modulo 1 of oscillating sequences
Let (hn)n be a sequence of real numbers, F a real $
\mathbb {Z}
^d$-periodic function defined on ${
\mathbb 
R} ^d$ and $\Theta $ an element of ${
\mathbb 
R} ^d$. Under increasing conditions on (hn)n, regularity conditions on F and, in some cases, diophantine conditions on $\Theta $, we prove that the sequence $(th_nF(n\Theta ))_n$ is uniformly distributed modulo 1 for almost every real number t. ``Perturbative'' versions of this result are also given. These results allow us to prove the pointwise convergence of non conventionnal ergodic averages associated to endomorphisms of the torus of dimension d.

Class. math. : 11 J 71, 11 K 38, 28 D 99


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique