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Bulletin de la SMF - Parutions - 128 - pages 391-406

Parutions128

On the $\bar \partial $-equation in a Banach space
Imre Patyi
Bulletin de la Société mathématique de France 128, fascicule 3 (2000), 391-406
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Résumé :
Sur l'équation $\bar \partial $ dans un espace de Banach
On définit un espace de Banach séparable X et on montre l'existence d'une forme $\bar \partial $ fermée du type (0,1) de classe $C^\infty $^Msur la boule unité B de X, qui n'est $\bar \partial $ exacte dans aucun ouvert. On montre en outre que $H^q(\Omega , \mathcal {0})=0$ pour $q\ge 1$ et $\Omega \subset X$ ouvert pseudo-convexe, par exemple, $\Omega =B$. Il s'ensuit que l'isomorphisme de Dolbeault ne se généralise pas aux espaces de Banach quelconques. On montre également que le théorème de Newlander-Nirenberg ne se généralise pas aux variétés de Banach quelconques.

Abstract:
We define a separable Banach space X and prove the existence of a $\bar \partial $-closed $C^\infty $-smooth (0, 1)-form f on the unit ball B of X, which is not $\bar \partial $-exact on any open subset. Further, we show that the sheaf cohomology groups $H^q(\Omega , \mathcal {0})=0$, $q\ge 1$, where $\mathcal {0}$ is the sheaf of germs of holomorphic functions on X, and $\Omega $ is any pseudoconvex domain in X, e.g., $\Omega =B$. As the Dolbeault group $H^{0,1}_{\;\bar \partial }(B)\not =0$, the Dolbeault isomorphism theorem does not generalize to arbitrary Banach spaces. Lastly, we construct a $C^\infty $-smooth integrable almost complex structure on $M=B\times 
\mathbb {C}
$ such that no open subset of M is biholomorphic to an open subset of a Banach space. Hence the Newlander-Nirenberg theorem does not generalize to arbitrary Banach manifolds.

Key words: $\bar \partial $-equation, Dolbeault isomorphism, Newlander-Nirenberg theorem

Class. math. : 58 B 12, 32 C 10, 32 L 20, 32 F 20, 46 G 20


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique