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Bulletin de la SMF - Parutions - 128 - pages 283-308

Parutions128

Théorèmes de Lefschetz pour les lieux de dégénérescence
Olivier Debarre
Bulletin de la Société mathématique de France 128, fascicule 2 (2000), 283-308
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Résumé :
On étend dans cet article les théorèmes de Lefschetz classiques au cas des lieux de dégénérescence d'un morphisme de fibrés vectoriels sur une variété projective complexe. Sous certaines hypothèses numériques et géométriques, on calcule une partie de la cohomologie des sous-variétés définies en majorant le rang d'un morphisme de fibrés vectoriels vérifiant une condition de positivité convenable. On étudie aussi le cas d'un morphisme antisymétrique, et on obtient un théorème de type Bertini pour les lieux de dégénérescence orthogonaux, qui entraîne que les lieux de Brill-Noether d'une variété de Prym sont connexes quand leur dimension attendue est strictement positive.

Mots clefs : théorème de Lefschetz, théorème de Bertini, fibrés vectoriels amples, lieux de dégénérescence, variétés de Prym, lieux de Brill-Noether, grassmanniennes isotropes

Abstract:
Lefschetz' theorems for degeneracy loci
This paper is concerned with extending the classical Lefschetz theorems to the setting of degeneracy loci of a map of bundles on a complex projective variety. Under favorable numerical and geometrical hypotheses, one can compute parts of the cohomology of subvarieties defined by bounding the rank of a map of vector bundles satisfying a suitable positivity condition. The case of an antisymmetric map is also studied, and a Bertini type theorem is obtained for orthogonal degeneracy loci. It implies that the Brill-Noether loci in a Prym variety are connected whenever their expected dimension is positive.

Class. math. : 14 F 05, 14 F 25, 14 F 45, 14 H 40, 14 J 05, 14 M 15


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique