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Bulletin de la SMF - Parutions - 128 - pages 249-281

Parutions128

Sur la convergence radiale des potentiels associés à l'équation de Helmholtz
Alano Ancona - Nicolas Chevallier
Bulletin de la Société mathématique de France 128, fascicule 2 (2000), 249-281
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Résumé :
Soit u une fonction surharmonique positive relativement à l'équation de Helmholtz $\Delta u-u=0$ dans ${
\mathbb 
R} ^d$, $d\geq 2$, et soit $\Phi $ la solution radiale positive de cette équation vérifiant $\Phi (0)=1$. On montre qu'il peut arriver que la fonction $u/\Phi $ n'admette pas de limite à l'infini le long de tout rayon issu de l'origine, ce qui répond à une question de T. Lyons, B. MacGibbon et J.C. Taylor. Plus généralement, si $\tilde u$ est une moyenne d'un type convenable de u, on étudie l'existence de limites radiales dans presque toute direction pour $\tilde u/\Phi $. On est amené à approfondir l'étude de l'effilement minimal relatif à l'équation de Helmholtz et, dans une autre direction, à déterminer un équivalent asymptotique, pour $\lambda \to +\infty $, du noyau de Poisson associé à $\Delta -\lambda I$ dans un ouvert convexe C2 de ${
\mathbb 
R} ^d$. On indique aussi une approche unifiée et des extensions de plusieurs résultats connus prolongeant le théorème de convergence radiale de Littlewood.

Mots clefs : limites radiales, potentiels, équation de Helmholtz, limites fines

Abstract:
About radial convergence of potentials associated to Helmholtz
Let u be a nonnegative superharmonic function with respect to the Helmholtz equation $\Delta u-u=0$ in ${
\mathbb 
R} ^d$, $d\geq 2$, and let $\Phi $ denote the radial positive solution of Helmholtz equation such that $\Phi (0)=1$. It is shown that in general $u/\Phi $ has no limit along every ray emanating from the origin in ${
\mathbb 
R} ^d$, which solves a question raised by T. Lyons, B. MacGibbon and J.C. Taylor. More generally, the existence of limits along almost every ray of some means of a natural type of $u/\Phi $ is studied and the means for which the a. s. radial convergence holds for every u characterized. We establish, as a tool, an asymptotic for $\lambda \to +\infty $ of the Poisson kernel with respect to $\Delta -\lambda I$ in a convex C2 region of ${
\mathbb 
R} ^d$. In a final section, extensions as well as a unified treatement of several known generalizations of the Littlewood radial convergence theorem are given.

Class. math. : 31 C 05, 31 C 12, 31 C 35, 60 J 45


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique