SMF

Courbes pseudo-holomorphes équisingulières en dimension $4$

Equisingular pseudo-holomorphic curves in $4$-dimensional almost complex manifolds

Jean-François Barraud
Courbes pseudo-holomorphes équisingulières en dimension $4$
  • Année : 2000
  • Fascicule : 2
  • Tome : 128
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 53~C~15, 30~G~20, 58~D, 14~H~10
  • Pages : 179-206
  • DOI : 10.24033/bsmf.2367
Dans une variété presque complexe $V$ de dimension $4$, on considère l'espace $\mathcal {M}$ des courbes pseudo-holomorphes de degré et d'homologie donnés, une courbe $C\in \mathcal {M}$, et un ensemble $\mathfrak {S}$ de singularités de $C$ (ou plus généralement, un « jeu de contraintes »sur $C$). On donne alors une condition numérique sur $C$ et $\mathfrak {S}$ sous laquelle l'espace $\mathcal {M}_{\mathfrak {S}}$ des courbes « ayant les singularités imposées par $\mathfrak {S}$ »est localement une sous-variété de $\mathcal {M}$. Ce résultat est alors appliqué à l'étude des arrangements de droites de $\mathbb {C}^2$ : on montre en particulier que tout arrangement de droites de $\mathbb {C}^2$ générique, c'est-à-dire n'ayant que des points doubles ordinaires, est isotope à un arrangement standard.
Let $\mathcal {M}$ denote the space of all pseudo-holomorphic curves of given genus and homology in an almost complex manifold $(V,J)$, and let $\mathfrak {S}$ be a set of singular points of a curve $C\in \mathcal {M}$ (or more generally, a set of “conditions” on $C$). We give a numerical condition on $C$ and $\mathfrak {S}$ under which the space $\mathcal {M}_{\mathfrak {S}}$ of all curves having “the same” singularities as $C$ near each point of $\mathfrak {S}$ is a submanifold of $\mathcal {M}$ (in a neighborhood of $C$). As an application, we study the sets of pseudo-holomorphic lines in $\mathbb {C}^2$ : we prove in particular, that any generic set, i.e. having only double points, is isotopic to a set of standard lines.
courbes pseudo-holomorphes, familles de courbes équisingulières, espaces modulaires, arrangements de droites, dimension $4$


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