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Bulletin de la SMF - Parutions - 128 - pages 179-206

Parutions128

Courbes pseudo-holomorphes équisingulières en dimension 4
Jean-François Barraud
Bulletin de la Société mathématique de France 128, fascicule 2 (2000), 179-206
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Résumé :
Dans une variété presque complexe V de dimension 4, on considère l'espace $\mathcal {M}$ des courbes pseudo-holomorphes de degré et d'homologie donnés, une courbe $C\in \mathcal {M}$, et un ensemble $
\mathfrak {S}
$ de singularités de C (ou plus généralement, un « jeu de contraintes » sur C). On donne alors une condition numérique sur C et $
\mathfrak {S}
$ sous laquelle l'espace $\mathcal {M}_{
\mathfrak {S}
}$ des courbes « ayant les singularités imposées par $
\mathfrak {S}
$ » est localement une sous-variété de $\mathcal {M}$. Ce résultat est alors appliqué à l'étude des arrangements de droites de $
\mathbb {C}
^2$ : on montre en particulier que tout arrangement de droites de $
\mathbb {C}
^2$ générique, c'est-à-dire n'ayant que des points doubles ordinaires, est isotope à un arrangement standard.

Mots clefs : courbes pseudo-holomorphes, familles de courbes équisingulières, espaces modulaires, arrangements de droites, dimension 4

Abstract:
Equisingular pseudo-holomorphic curves in 4-dimensional almost complex manifolds
Let $\mathcal {M}$ denote the space of all pseudo-holomorphic curves of given genus and homology in an almost complex manifold (V,J), and let $
\mathfrak {S}
$ be a set of singular points of a curve $C\in \mathcal {M}$ (or more generally, a set of ``conditions'' on C). We give a numerical condition on C and $
\mathfrak {S}
$ under which the space $\mathcal {M}_{
\mathfrak {S}
}$ of all curves having ``the same'' singularities as C near each point of $
\mathfrak {S}
$ is a submanifold of $\mathcal {M}$ (in a neighborhood of C). As an application, we study the sets of pseudo-holomorphic lines in $
\mathbb {C}
^2$: we prove in particular, that any generic set, i.e. having only double points, is isotopic to a set of standard lines.

Class. math. : 53 C 15, 30 G 20, 58 D, 14 H 10


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique