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Bulletin de la SMF - Parutions - 127 - pages 71-93

Parutions127

Singularité des produits de Anzai associés aux fonctions caractéristiques d'un intervalle
Mélanie Guenais
Bulletin de la Société mathématique de France 127, fascicule 1 (1999), 71-93
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Résumé :
On étudie les extensions à deux points au-dessus d'une rotation irrationnelle définies sur $
\mathbb {T}
 \times 
\mathbb {Z}
/2 
\mathbb {Z}
$ par $T_\beta (x,y)= (x + \alpha \hbox { mod } 1, y + \mathbf {1}_{[0,\beta [}(x) \hbox { mod }2)$. Ces transformations introduites par A. Katok et A. Stepin admettent un spectre simple lorsqu'elles sont ergodiques, et la question de la nature du type spectral se pose donc naturellement. On établit alors que ces transformations admettent toujours un spectre purement singulier, quels que soient $\alpha \notin 
\mathbb {Q}
$ et $\beta \in {} ]0,1[$.

Mots clefs : théorie ergodique, théorie spectrale, singularité spectrale, produits gauches, rotations, fraction continue

Abstract:
Spectral singularity of Anzai skew products associated with step functions
Two-point extensions over irrational rotations given on $
\mathbb {T}
 \times 
\mathbb {Z}
/2 
\mathbb {Z}
$ by $T_\beta (x,y)= (x + \alpha \hbox { mod } 1, y + \mathbf {1}_{[0,\beta [}(x) \hbox { mod }2)$, where $\beta \in {} ]0,1[$ and $\alpha $ is irrational have been extensively studied from the spectral point of view, starting with a well known paper by A. Katok and A. Stepin. In particular, they always have simple spectrum as soon as they are ergodic, and the question of the existence of such a transformation whose spectral type admits an absolutely continuous part arises naturally. We give here a negative answer to this question, by showing for every $\alpha $ and $\beta \in {} ]0,1[$ the spectral singularity of these 2-point extensions.

Class. math. : 28 D 05, 11 K 50


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique