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Bulletin de la SMF - Parutions - 127 - pages 519-539

Parutions127

Sur la caractérisation du bord d'une chaîne holomorphe dans l'espace projectif
Tien-Cuong Dinh
Bulletin de la Société mathématique de France 127, fascicule 4 (1999), 519-539
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Résumé :
Nous démontrons qu'une sous-variété réelle, compacte, orientée et lisse $\Gamma $ de dimension $2p-1\geq 3$ de $
\mathbb {CP}
^n$ est le bord d'un sous-ensemble analytique s'il existe une variété réelle $V\subset \mathrm {G}(n-p+2,n+1)$ de codimension 1 satisfaisant les conditions suivantes pour tout $\nu \in V$:

1) la réunion des $
\mathbb {P}
^{n-p+1}_\nu $ pour $\nu \in V$ recouvre un ouvert dense de $\Gamma $;

2) le (n-p+1)-plan $
\mathbb {P}
^{n-p+1}_\nu $ intersecte $\Gamma $ transversalement;

3) $\Gamma \cap 
\mathbb {P}
^{n-p+1}_\nu $ est le bord d'une surface de Riemann dans $
\mathbb {P}
^{n-p+1}_\nu $;

4) aucun ouvert non vide de $\Gamma \cap 
\mathbb {P}
^{n-p+1}_\nu $ n'est réel analytique.

Pour la preuve, nous utilisons et démontrons le résultat suivant: pour toute surface de Riemann à bord rectifiable (éventuellement réductible et singulière) S d'une variété complexe, $\overline S $ admet un système fondamental de voisinages de Stein. Il existe $\Gamma $ réelle algébrique vérifiant 1), 2), 3), qui n'est pas bord d'un sous-ensemble analytique.

Mots clefs : problème du bord, conditions des moments, maximalement complexe

Abstract:
On the characterization of the boundary of a holomorphic chain in the projective space
We will prove that a real compact oriented smooth submanifold $\Gamma $ of dimension $2p-1\geq 3$ in $
\mathbb {CP}
^n$ is the boundary of a complex variety if there exists a real manifold $V\subset \mathrm {G}(n-p+2,n+1)$ of codimension 1 satisfying the following conditions for every $\nu \in V$

1) The union of $
\mathbb {P}
^{n-p+1}_\nu $ for $\nu \in V$ does recover a dense open set in $\Gamma $.

2) The (n-p+1)-plane $
\mathbb {P}
^{n-p+1}_\nu $ does intersect $\Gamma $ transversally.

3) $\Gamma \cap 
\mathbb {P}
^{n-p+1}_\nu $ is the boundary of a Riemann surface in $
\mathbb {P}
^{n-p+1}_\nu $.

4) No nonempty open set in $\Gamma \cap 
\mathbb {P}
^{n-p+1}_\nu $ is real analytic.

For proving this, we use and we prove the following result: for every Riemann surface which has a rectifiable boundary (eventually reducible and singular) S in a complex manifold, $\overline S $ does admit a fundamental system of Stein neighborhoods. There exists a real algebraic $\Gamma $ satisfying 1), 2), 3) but which is not the boundary of a complex variety.

Class. math. : 32 C 25, 32 C 16


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique