On considère les équations de Navier-Stokes périodiques 3D et on prend la donnée initiale de la forme $u_0=v_0+w_0$, où $v_0$ ne dépend pas de la troisième variable. On démontre que, afin d'obtenir l'existence et l'unicité globale, il suffit de supposer que $\|w_0\|_X \exp (\|v_0\|^2_{L^2(\mathbb {T}^2)}/{C\nu ^2})\leq C\nu $, où $X$ est un espace avec une régularité $H^{\delta }$ dans les deux premières directions et ${H}^{1/2 -\delta }$ dans la troisième direction ou, si $\delta =0$, un espace qui est $L^2$ dans les deux premières directions et $B^{1/2 }_{2,1}$ dans la troisième direction. On considère aussi le même système sur le tore avec une épaisseur $\varepsilon $ dans la troisième direction et on étudie la dépendance de $\varepsilon $ de la constante $C$ ci-dessus. On trouve que, si $v_0$ est la projection de la donnée initiale sur l'espace des fonctions indépendantes de la troisième variable, alors la constante $C$ peut être choisie indépendante de $\varepsilon $.