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Bulletin de la SMF - Parutions - 127 - pages 473-517

Parutions127

The 3D Navier-Stokes equations seen as a perturbation of the 2D Navier-Stokes equations
Dragos Iftimie
Bulletin de la Société mathématique de France 127, fascicule 4 (1999), 473-517
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Résumé :
Les équations de Navier-Stokes 3D vues comme une perturbation des équations de Navier-Stokes 2D
On considère les équations de Navier-Stokes périodiques 3D et on prend la donnée initiale de la forme u0=v0+w0, où v0 ne dépend pas de la troisième variable. On démontre que, afin d'obtenir l'existence et l'unicité globale, il suffit de supposer que $\Vert w_0\Vert _X \exp (\Vert v_0\Vert^2_{L^2(
\mathbb {T}
^2)}/{C\nu ^2})\leq C\nu $, où X est un espace avec une régularité $H^{\delta }$ dans les deux premières directions et ${H}^{1/2 -\delta }$ dans la troisième direction ou, si $\delta =0$, un espace qui est L2 dans les deux premières directions et B1/2 2,1 dans la troisième direction. On considère aussi le même système sur le tore avec une épaisseur $\varepsilon $ dans la troisième direction et on étudie la dépendance de $\varepsilon $ de la constante C ci-dessus. On trouve que, si v0 est la projection de la donnée initiale sur l'espace des fonctions indépendantes de la troisième variable, alors la constante C peut être choisie indépendante de $\varepsilon $.

Abstract:
We consider the periodic 3D Navier-Stokes equations and we take the initial data of the form u0=v0+w0, where v0 does not depend on the third variable. We prove that, in order to obtain global existence and uniqueness, it suffices to assume that $\Vert w_0\Vert _X \exp (\Vert v_0\Vert^2_{L^2(
\mathbb {T}
^2)}/{C\nu ^2})\leq C\nu $, where X is a space with a regularity $H^{\delta }$ in the first two directions and ${H}^{1/2 -\delta }$ in the third direction or, if $\delta =0$, a space which is L2 in the first two directions and B1/2 2,1 in the third direction. We also consider the same equations on the torus with the thickness in the third direction equal to $\varepsilon $ and we study the dependence on $\varepsilon $ of the constant C above. We show that if v0 is the projection of the initial data on the space of functions independent of the third variable, then the constant C can be chosen independent of $\varepsilon $.

Key words: Navier-Stokes equations, thin domain, anisotropic dyadic decomposition, anisotropic Sobolev space

Class. math. : 35 Q 30, 76 D 05, 46 E 35, 35 S 50, 35 B 65, 35 K 55


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique