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Bulletin de la SMF - Parutions - 127 - pages 43-69

Parutions127

Recollement de variétés de contact tendues
Vincent Colin
Bulletin de la Société mathématique de France 127, fascicule 1 (1999), 43-69
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Résumé :
On étudie le comportement des structures de contact tendues vis-à-vis d'opérations de chirurgie le long de disques et de tores. Le résultat principal affirme que lorsqu'on recolle deux variétés de contact tendues de dimension 3 le long de deux tores incompressibles, la variété résultante est tendue pourvu que les structures de départ soient universellement tendues et les tores quasi pré-lagrangiens (c'est par exemple le cas si $\xi $ trace sur les tores considérés un feuilletage en cercles). De plus, on construit un exemple qui montre que sans cette dernière hypothèse, la nouvelle variété peut être vrillée. On combine alors ces techniques de chirurgie et un résultat récent de Y. Eliashberg et W. Thurston pour construire une structure de contact tendue sur « presque » toute variété graphée ainsi que sur une nouvelle classe de sphères d'homologie toroïdales.

Mots clefs : structure de contact, structure tendue, chirurgie, tore incompressible

Abstract:
Gluing tight contact manifolds
We study the behaviour of tight contact structures under surgery operations along disks and tori. The main result says that if one glues two tight contact manifolds along incompressible tori, the resulting manifold is tight provided that the original structures are universally tight and that the tori are quasi pre-lagrangian (for instance it is the case if $\xi $ induces on the tori a foliation by circles). Moreover, we construct an example which shows that without this last assumption, the new manifold can be overtwisted. As an application of these techniques, using a recent theorem of Y. Eliashberg and W. Thurston, we construct a tight contact structure on ``almost'' every graph manifold and on a new class of toroidal homology spheres.


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique