Catalogue et commandes en ligne (paiement sécurisé, VISA ou MASTERCARD uniquement)

Revues disponibles par abonnement

Annales scientifiques de l'ENS

Astérisque

Bulletin de la SMF

Mémoires de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Gazette des Mathématiciens

Séries de livres

Astérisque

Cours Spécialisés

Documents Mathématiques

Mémoires de la SMF

Panoramas et Synthèses

Séminaires et Congrès

Série Chaire Jean Morlet

SMF/AMS Texts and Monographs

La Série T

Fascicules « Journée Annuelle »

Autres livres

Donald E. Knuth - traductions françaises

Rééditions du Séminaire Nicolas Bourbaki

Rééditions des Œuvres de Jean Leray

Revue de l'Institut Elie Cartan

Editions électroniques

Annales scientifiques de l'ENS

Bulletin de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Séminaires et Congrès

Plus d'information / Abonnement

Publications grand public

L'explosion des mathématiques (smf.emath.fr)

Mathématiques L'explosion continue (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des maths (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des mathématiques et de l'informatique (smf.emath.fr)

Où en sont les mathématiques ?

La Série T

Pour les auteurs

Soumission des manuscrits

Formats et documentation

Plus d'info

Liste de diffusion électronique (smf.emath.fr)

Information pour les libraires et diffuseurs (smf.emath.fr)

Publications de la SMF
fr en
Votre numéro IP : 54.234.0.2
Accès aux édit. élec. : SémCong

Bulletin de la SMF

Présentation de la publication

Parutions

Dernières parutions

Comité de rédaction / Secrétariat

Volume :

Faire une recherche


Catalogue & commande

Bulletin de la SMF - Parutions - 127 - pages 429-443

Parutions127

Caractérisation d'une solution optimale au problème de Monge-Kantorovitch
Taoufiq Abdellaoui - Henri Heinich
Bulletin de la Société mathématique de France 127, fascicule 3 (1999), 429-443
Acheter l'ouvrage
Télécharger cet article : fichier PS / fichier PDF

Résumé :
Soient P et Q deux probabilités définies sur la tribu borélienne d'un espace métrique séparable complet M et c(x,y) une fonction continue de $M\times M$ dans $
\mathbb {R}
^+.$ On considère la fonctionnelle

\begin{displaymath}
d_{c}(P,Q)=\inf \{E ({c}(X,Y) ); X \hbox { \rm de loi } P, \, Y \hbox { \rm de loi } Q \}. \end{displaymath}

Lorsque P est « c-continue » et Q discrète, nous montrons qu'un couple (X,Y) réalise le minimum si et seulement si Y=f(X) où f est une fonction optimale pour le couple (P,Q). Nous établissons l'unicité de f et nous montrons que la condition de c-cyclique monotonie P-p.s. est nécessaire et suffisante pour que f soit optimale. Pour un espace de Hilbert et $ c(x,y)=\theta (x-y),\theta $ strictement convexe, nous obtenons, lorsque P vérifie une condition (*) et Q quelconque, l'existence, l'unicité P-p.s., la c-cyclique monotonie P-p.s. et l'expression de la fonction optimale.

Mots clefs : problème de Monge-Kantorovitch, probabilités à marginales fixées, cyclique monotonie, sous-différentiel

Abstract:
Characterization of an optimal solution to Monge-Kantorovitch's problem
Let P and Q be two probabilities on a complete separable metric space M and c a continuous function on $ M\times M.$ We consider

\begin{displaymath}
d_{c}(P,Q)=\inf \{E ({c}(X,Y) ); X \hbox { \rm has the law } P, \, Y \hbox { \rm has the law } Q \}. \end{displaymath}

We show that, when P is ``c-nonatomic" and Q atomic, a pair (X,Y) verifies the relation dc(P,Q)= E (c (X,Y) ) if and only if Y=f(X), where f is the unique optimal function for (P,Q). We also prove that the condition of c-cyclical monotonicity is necessary and sufficient for f to be optimal. For a Hilbert space we suppose that $c(x,y)=\theta (x-y)$, $\theta $ strictly convexe and P verifies a condition (*). We give the expression of the unique optimal function f for (P,Q).

Class. math. : 60 B 05, 60 B 11, 90 C 08


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique