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Bulletin de la SMF - Parutions - 127 - pages 393-428

Parutions127

Hyperbolicité des polynômes fibrés
Olivier Sester
Bulletin de la Société mathématique de France 127, fascicule 3 (1999), 393-428
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Résumé :
Nous posons les bases de l'étude des polynômes fibrés qui sont les applications de $X\times 
\mathbb {C}
$ dans $X\times 
\mathbb {C}
$ de la forme

\begin{displaymath}
(x,z) \longmapsto (f(x), c_d(x)z^d+\cdots +c_{1}(x)z+c_0(x)), \end{displaymath}

X est un compact, f une application continue de X dans lui-même et $c_0,\ldots ,c_d$ $(d\geq 2)$ des applications continues de X dans $
\mathbb {C}
$ considérées comme paramètres.

La première étape consiste à étendre à ce cadre les notions usuelles en dynamique holomorphe d'ensemble de Julia, de fonction de Green associée et de coordonnée de Böttcher.

Nous nous attachons ensuite aux questions d'hyperbolicité. Notre résultat principal est une caractérisation en termes des ensembles critiques et post-critiques des polynômes fibrés dits hyperboliques, c'est-à-dire uniformément expansifs sur le Julia.

Enfin, nous concentrons notre étude sur le cas quadratique (d=2) en décrivant de plusieurs manières équivalentes les polynômes fibrés quadratiques dont les ensembles de Julia sont des quasi-cercles et qui correspondent dans le cadre habituel à la cardioïde principale de l'ensemble de Mandelbrot.

Mots clefs : polynômes fibrés, dynamique holomorphe, ensemble de Julia, fonction de Green

Abstract:
Hyperbolicity of fibered polynomials
We lay the basis of the study of the dynamics of fibered polynomials. The setting is the following: given a compact Hausdorff space X, a continuous map f from X to X, and d+1 continuous complex-valued functions, $c_0,\ldots ,c_d$ $(d\geq 2)$ on X, we consider the fibered mapping on $X\times 
\mathbb {C}
$ of the form

\begin{displaymath}
(x,z) \longmapsto (f(x), c_d(x)z^d+\cdots +c_{1}(x)z+c_0(x)). \end{displaymath}

The first step is to extend the familiar notions in complex dynamics of Julia set, Green function and Böttcher coordinates.

We then focus on the hyperbolic aspects of these maps. Our main theorem is a characterization of the fibered polynomials called hyperbolic which means uniformly expanding on their Julia set.

Finally, we proceed to a more detailed study of the quadratic case (d=2). We identify in several equivalent ways the quadratic fibered polynomials whose Julia sets are quasi-circles. In the non-fibered case they correspond to the main cardioide of the Mandelbrot set.

Class. math. : 30 D 05, 58 F 23


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique