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Bulletin de la SMF - Parutions - 127 - pages 307-331

Parutions127

Homotopy invariance of twisted higher signatures on manifolds with boundary
Eric Leichtnam - Paolo Piazza
Bulletin de la Société mathématique de France 127, fascicule 2 (1999), 307-331
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Résumé :
Invariance par homotopie des hautes signatures ``twistées'' sur des variétés à bord
Soit M une variété compacte orientée à bord. On suppose que $\pi _1(M)$ est le produit d'un groupe fini non trivial F et d'un groupe $\Gamma $ qui est soit à croissance polynomiale, soit hyperbolique au sens de Gromov. On se donne une représentation non triviale $\rho : F\rightarrow U(\ell )$ et on considère le fibré plat unitaire associé $E_\rho $. On désigne par $\widetilde M$ le revêtement universel de M et on considère le revêtement $\Gamma $-galoisien $\pi :\widetilde M/F\to M$, le fibré plat relevé $\widetilde E_\rho =\pi ^*(E_\rho )$ et l'opérateur de signature « twisté » associé. Sous l'hypothèse supplémentaire que l'opérateur de signature « twisté » induit sur le bord de $\widetilde M/F$ est L2-inversible, Lott a introduit dans [L2] les hautes signatures « twistées » de M. Notre résultat principal - une réponse positive à une conjecture de type Novikov pour les variétés à bord - est que ce sont des invariants d'homotopie de la paire $(M,\partial M)$. La preuve dépend de manière essentielle du $b\, $-$\mathcal {B}^\infty $-calcul pseudodifférentiel développé dans [LP1], du théorème d'indice supérieur APS de [LP1] (étendu ici au cas des groupes hyperboliques au sens de Gromov) et du résultat classique de Kaminker-Miller énonçant l'égalité des classes d'indices associées à deux complexes hermitiens de Fredholm homotopiquement équivalents.

Abstract:
Let M be an oriented compact manifold with boundary. We assume that $\pi _1(M)$ is the product of a non-trivial finite group F and of a group $\Gamma $ which is either of polynomial growth or Gromov hyperbolic. We fix a non-trivial representation $\rho : F\rightarrow U(\ell )$ and let $E_\rho $ be the associated unitary flat bundle on M. We denote by $\widetilde M$ the universal cover of M and we consider the $\Gamma $-Galois covering $\pi : \smash {\widetilde {M}}/F\rightarrow M$, the lifted flat bundle $\smash {\widetilde {E}}_\rho =\pi ^*(E_\rho )$ and the associated twisted signature operator. Under the additional assumption that the induced twisted signature operator on the boundary of $\smash {\widetilde {M}}/F$ is L2-invertible, Lott has introduced in [L2] the twisted higher signatures of M; our main result, a positive answer to a form of Novikov conjecture on manifolds with boundary, is that these are homotopy invariants of the pair $(M,\partial M)$. The proof depends heavily on the b-$\mathcal {B}^\infty $-pseudodifferential calculus developed in [LP1], on the higher APS index theorem of [LP1] (here extended so as to cover Gromov-hyperbolic groups) and on a classical result of Kaminker-Miller, stating the equality of the index classes associated to two homotopy-equivalent hermitian Fredholm complexes.

Key words: homotopy invariants, higher signatures, signature operator, L-class, universal cover, Atiyah-Patodi-Singer higher index theory, higher eta invariants, b-pseudodifferential calculus

Class. math. : 58 G 12, 46 L 87, 58 G 15


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique