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Bulletin de la SMF - Parutions - 127 - pages 25-41

Parutions127

Generalization of von Neumann's spectral sets and integral representation of operators
Bernard Delyon - François Delyon
Bulletin de la Société mathématique de France 127, fascicule 1 (1999), 25-41
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Résumé :
Généralisation des ensembles spectraux et représentation intégrale des opérateurs
Nous modifions la théorie des ensembles spectraux de von Neumann pour l'appliquer à l'image numérique des opérateurs. Nous donnons une représentation intégrale pour des opérateurs bornés quelconques ; ceci étend le calcul fonctionnel aux opérateurs non normaux. Comme application, nous démontrons la conjecture de Burkholder : soit T un opérateur produit d'un nombre fini d'espérances conditionnelles, alors pour toute fonction de carré sommable f, les itérées Tnf convergent presque sûrement.

Abstract:
We extend von Neumann's theory of spectral sets, in order to deal with the numerical range of operators. An integral representation for arbitrary operators is given, allowing to extend functional calculus to non-normal operators. We apply our results to the proof of the Burkholder conjecture: let T be an operator consisting in a finite product of conditional expectation, then for any square integrable function f, the iterates Tnf converge almost surely to some limit.

Key words: numerical range, field of values, spectral sets, spectral measures

Class. math. : 47 A 12, 47 A 25, 47 A 60, 60 F 15.


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique