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Bulletin de la SMF - Parutions - 126 - pages 563-600

Parutions126

Sur la cohomologie galoisienne des corps p-adiques
Laurent Herr
Bulletin de la Société mathématique de France 126, fascicule 4 (1998), 563-600
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Résumé :
Ce travail fait suite à l'article de J.-M. Fontaine paru dans la Grothendieck Festschrift, où il construit une équivalence entre la catégorie des représentations p-adiques du groupe de Galois absolu $G_{\mkern -2mu K}$ d'un corps local K d'inégale caractéristique (0,p>0) et une catégorie de modules sur un certain anneau, munis de deux opérateurs aux propriétés particulières. Nous donnons ici à l'aide de ces nouveaux objets une construction explicite des groupes de cohomologie galoisienne d'une représentation $
\mathbb 
Z_p$-adique de p-torsion de $G_{\mkern -2mu K}$. Lorsque K est une extension finie de ${
\mathbb 
Q}_p$, nous montrons ensuite comment on peut retrouver à partir de là les résultats classiques de Tate concernant ces groupes: la finitude et le calcul de la caractéristique d'Euler-Poincaré. Les méthodes utilisées semblent être plus simples que les arguments cohomologiques habituels, ne serait-ce que parce que l'on ne se sert pas de la théorie sophistiquée du corps de classe local et que tout est essentiellement explicite. Nous obtenons aussi au passage des résultats importants concernant la structure des modules associés aux représentations, ainsi qu'une filtration en trois crans sur leur cohomologie.

Mots clefs : cohomologie galoisienne, corps p-adiques

Abstract:
On Galois cohomology of p-adic fields
This work follows J.-M. Fontaine's paper in the Grothendieck Festschrift, where he constructs an equivalence between the category of $
\mathbb 
Z_p$-adic representations of the absolute Galois group $G_{\mkern -2mu K}$ of a local field K of mixed characteristic (0,p>0) and a category of modules over a certain ring, endowed with two operators satisfying special properties. We give here an explicit construction of the cohomology groups of a $
\mathbb 
Z_p$-adic representation of $G_{\mkern -2mu K}$ killed by a power of p, using these new objects. When K is a finite extension of ${
\mathbb 
Q}_p$, we show then how one can find again Tate's classical results about these groups: the finiteness and the calculation of the Euler-Poincaré characteristic. The methods used seem to be rather simpler than the standard cohomological arguments because we don't need sophisticated theories like local class field theory and everything is essentially explicit. One gets also interesting information about the structure of the modules associated with representations and a 3-step filtration on their Galois cohomology.

Class. math. : 11 S 25, 11 S 15, 11 S 31, 14 F 30


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique