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Bulletin de la SMF - Parutions - 126 - pages 51-77

Parutions126

Ergodicité intrinsèque de produits fibrés d'applications chaotiques unidimensionnelles
Jérôme Buzzi
Bulletin de la Société mathématique de France 126, fascicule 1 (1998), 51-77
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Résumé :
Nous considérons de petites perturbations fibrées de produits directs d'applications unidimensionnelles $C^\infty $ d'entropie non-nulle. Nous montrons que ces systèmes dynamiques multidimensionnels non-dilatants et non-linéaires ont un nombre non-nul et fini de mesures de probabilité invariantes et ergodiques d'entropie maximale.

La preuve est basée sur la généralisation développée dans [6] du diagramme de Hofbauer. On obtient ainsi l'isomorphisme (au sens de l'entropie) avec une chaîne de Markov topologique dénombrable mais ayant un nombre fini de sous-chaînes irréductibles. Le point essentiel de la preuve est l'estimation d'entropies topologiques par des approximations semi-algébriques et des résultats de semi-continuité de M. Misiurewicz [18] et Y. Yomdin [22].

Mots clefs : théorie ergodique, entropie métrique, entropie topologique, ergodicité intrinsèque, applications différentiables, chaîne de Markov topologique, diagramme de Markov, de Hofbauer.

Abstract:
We consider small fibered perturbations of direct products of $C^\infty $ interval maps with positive entropy. These non-expanding, non-linear multi-dimensional systems are shown to have a non-zero and finite number of invariant and ergodic probability measures with maximal entropy.

The proof uses a suitable generalization of the Hofbauer diagram developed in [6] which gives isomorphism (in the sense of entropy) with a countable topological Markov chain having a finite number of irreducible sub-chains. The main point of the proof is to estimate topological entropies using approximations by semi-algebraic sets and semi-continuity results of M. Misiurewicz [18] and Y. Yomdin [22].

Class. math. : 58 F 11, 28 D 20


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique