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Bulletin de la SMF - Parutions - 126 - pages 507-524

Parutions126

Représentations galoisiennes associées aux points d'ordre $\ell $ des jacobiennes de certaines courbes de genre 2
Pierre Le Duff
Bulletin de la Société mathématique de France 126, fascicule 4 (1998), 507-524
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Résumé :
Soit J la jacobienne d'une courbe C de genre 2 définie sur ${
\mathbb 
Q}$. Soit p un nombre premier. On suppose que la réduction du modèle de Néron de J sur ${
\mathbb 
Q}_p$ est une extension d'une courbe elliptique par un tore. Soit $\overline {
\mathbb 
Q}$ une clôture algébrique de ${
\mathbb 
Q}$; le groupe de Galois $\mathrm {Gal} (\overline {
\mathbb 
Q}/{
\mathbb 
Q})$ agit sur les points de $\ell $-division de J. On note $\rho _\ell $ la représentation associée. De plus, on suppose qu'il existe un nombre premier de bonne réduction q tel que le groupe de Galois sur ${
\mathbb 
Q}$ du polynôme caractéristique de l'endomorphisme de Frobenius en q est le groupe diédral à 8 éléments (ce qui implique que J est absolument simple). On peut alors déterminer une infinité de nombres premiers $\ell $ pour lesquels l'image de $\rho _\ell $ est $\mathrm {GSp} (4,{
\mathbb 
F}_\ell )$. Deux exemples sont traités à la fin de l'article.

Mots clefs : groupe symplectique, variété abélienne, représentation galoisienne

Abstract:
Points of order $\ell $ of the jacobian of special curves of genus 2
Let J be the Jacobian of a curve C of genus 2, defined over ${
\mathbb 
Q}$. Let p be a prime number. Assume that the reduction of the Néron model of J over ${
\mathbb 
Q}_p$ is an extension of an elliptic curve by a torus. We denote by $\overline {
\mathbb 
Q}$ an algebraic closure of ${
\mathbb 
Q}$; the Galois group $\mathrm {Gal} (\overline {
\mathbb 
Q}/{
\mathbb 
Q})$ acts on the $\ell $-division points of J. We denote by $\rho _\ell $ the associated representation. Let q be a prime number where J has good reduction such that the Galois group over ${
\mathbb 
Q}$ of the characteristic polynomial of the Frobenius endomorphism associated to q is the dihedral group with 8 elements (this implies that J is absolutely simple). Then an infinite set of prime numbers can be found such that the image of $\rho _\ell $ is $\mathrm {GSp} (4,{
\mathbb 
F}_\ell )$. Two exemples will be given at the end of this article.

Class. math. : 14 H 40, 14 G 05


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique