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Bulletin de la SMF - Parutions - 126 - pages 407-433

Parutions126

Algèbre des descentes et cogroupes dans les algèbres sur une opérade
Benoît Fresse
Bulletin de la Société mathématique de France 126, fascicule 3 (1998), 407-433
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Résumé :
On considère l'algèbre des descentes graduée complétée $\Sigma ^{\scriptscriptstyle \wedge }=\prod _n \Sigma _n$ associée aux groupes symétriques Sn. Les idempotents eulériens $e^n\in \Sigma ^{\scriptscriptstyle \wedge }$ forment une famille d'idempotents orthogonaux dans $\Sigma ^{\scriptscriptstyle \wedge }$. On fixe une opérade algébrique $\mathcal P$ et on travaille dans la catégorie des $\mathcal P$-algèbres graduées. Soit R une $\mathcal P$-algèbre graduée connexe munie d'une structure de cogroupe. On montre que $\Sigma ^{\scriptscriptstyle \wedge }$ agit de façon naturelle sur R; par suite, on obtient une décomposition naturelle $R=\oplus _n e^nR$. On montre que la composante e1R engendre R librement comme $\mathcal P$-algèbre. Dans le cas des algèbres commutatives $\mathcal {P}=\mathcal {C}om$, on retrouve un théorème de structure classique sur les algèbres de Hopf commutatives.

Mots clefs : cogroupe, algèbre des descentes de Solomon, opérade

Abstract:
Descent algebra and cogroups in algebras over an operad
We consider the complete graded descent algebra $\Sigma ^{\scriptscriptstyle \wedge }=\prod _n \Sigma _n$ which is associated to the symmetric group Sn. The eulerian idempotents $e^n\in \Sigma ^{\scriptscriptstyle \wedge }$ form a sequence of orthogonal idempotents in $\Sigma ^{\scriptscriptstyle \wedge }$. Fix an algebraic operad $\mathcal P$; we work in the category of graded $\mathcal P$-algebras. Let R be a connected graded $\mathcal P$-algebra equipped with a cogroup structure. We show that R supports a canonical $\Sigma ^{\scriptscriptstyle \wedge }$-action. As a consequence, we obtain a decomposition $R=\oplus _n e^nR$. We show that the component e1R generates R freely as an $\mathcal P$-algebra. In the case of commutative algebras $\mathcal {P}=\mathcal {C}om$, we recover a classical structure theorem on commutative Hopf algebras.

Class. math. : 16 W 0, 18 C, 05 E 10


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique