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Bulletin de la SMF - Parutions - 126 - pages 381-406

Parutions126

On topological rigidity of projective foliations
Alcides Lins Neto - Paulo Sad - Bruno Scárdua
Bulletin de la Société mathématique de France 126, fascicule 3 (1998), 381-406
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Résumé :
Sur la rigidité topologique des feuilletages projectifs
Nous désignons par $\mathcal {X}(n)$ l'espace des feuilletages de degré $n\in 
\mathbb 
N$ du plan projectif complexe qui laissent invariante la droite de l'infini. Nous démontrons que, pour chaque $n \ge 2$, il existe un sous-ensemble ouvert et dense $\mathrm {Rig}(n)\subset \mathcal {X}(n)$ tel que toute déformation analytique et topologiquement triviale $\{\mathcal {F}_t\}_{t\in 
\mathbb 
D}$ d'un élément $\mathcal {F}_0 \in \mathrm {Rig}(n)$, avec $\mathcal {F}_t \in \mathcal {X}(n)$ pour tout $t\in 
\mathbb 
D$, est analytiquement triviale. Cela améliore un résultat remarquable de Ilyashenko. On donne aussi d'autres généralisations de ces résultats ainsi qu'une description de la classe des feuilletages non rigides.

Abstract:
Let us denote by $\mathcal {X}(n)$ the space of degree $n\in 
\mathbb 
N$ foliations of the complex projective plane $
\mathbb {C P}
(2)$ which leave invariant the line at infinity. We prove that for each $n \ge 2$ there exists an open dense subset $\mathrm {Rig}(n)\subset \mathcal {X}(n)$ such that any topologically trivial analytic deformation $\{\mathcal {F}_t\}_{t\in 
\mathbb 
D}$ of an element $\mathcal {F}_0 \in \mathrm {Rig}(n)$, with $\mathcal {F}_t \in \mathcal {X}(n)$, for all $t\in 
\mathbb 
D$, is analytically trivial. This is an improvement of a remarkable result of Ilyashenko. Other generalizations of these results are given as well as a description of the class of nonrigid foliations.

Key words: foliation, rigidity, holonomy group, non solvable group of diffeomorphisms, lamination

Class. math. : 32 L 30


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique