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Bulletin de la SMF - Parutions - 126 - pages 355-380

Parutions126

Tempered subgroups and representations with minimal decay of matrix coefficients
Hee Oh
Bulletin de la Société mathématique de France 126, fascicule 3 (1998), 355-380
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Résumé :
Sous-groupes tempérés et représentations
Nous associons une fonction F à chaque groupe de Lie G, linéaire, réel simple de rang réel au moins 2, telle que F donne une borne supérieure pour tous les coefficients matriciels K-finis des représentations unitaires sphériques irréductibles de G, où K un sous-groupe compact maximal de G. Ceci nous permet de déterminer quand un sous-groupe fermé H de G est (G,K)-tempéré; c'est le cas par exemple si la restriction de F à H est dans $L^{1-\epsilon }(H)$. Nous prouvons aussi que cette fonction F est la meilleure possible pour un groupe réel déployé G de type An ou Cn, et comme conséquence, nous obtenons que si H est semi-simple, alors H est un sous-groupe (G,K)-tempéré de G si et seulement si F|H est dans L1(H).

Abstract:
We present a function F for each simple real linear Lie group G with real rank at least 2 such that F bounds from above all the K-matrix coefficients of non-trivial irreducible spherical unitary representations of G where K is a maximal compact subgroup of G. This enables us to determine when a closed subgroup H is a (G,K)-tempered subgroup of G: for example, if the restriction F|H of F to H lies in $L^{1-\epsilon }(H)$. We also prove that this function F is the best possible for G a real-split group of type An or Cn and as a consequence, we obtain that if H is semisimple, then H is a (G,K)-tempered subgroup of G if and only if F|H lies in L1(H).

Key words: unitary representation, tempered subgroup, compact quotient, matrix coefficient

Class. math. : 22 E 40, 22 E 46, 53 C 30, 57 S 30


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique