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Bulletin de la SMF - Parutions - 126 - pages 273-294

Parutions126

Estimations de diffusion pour un opérateur de Klein-Gordon matriciel dépendant du temps
Mohammed Benchaou
Bulletin de la Société mathématique de France 126, fascicule 2 (1998), 273-294
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Résumé :
Dans ce travail, on s'intéresse à la théorie de la diffusion pour un opérateur de Klein-Gordon matriciel $2\times 2$ dépendant du temps, du type:

\begin{displaymath}
P=\bigl (\sqrt {1-h^2\Delta _x }\, \bigr ) {\bf I}_2+V(t,x)+hR(t,x) \end{displaymath}

sur $L^2({
\mathbb 
R}^n)\oplus L^2({
\mathbb 
R}^n)$, où V(t,x) est une matrice diagonale réelle dont les valeurs propres ne sont jamais égales lorsque (t,x) décrit ${
\mathbb 
R}^{n+1}$. On suppose également que V et R se prolongent holomorphiquement dans une bande complexe autour de ${
\mathbb 
R}^{n+1}\!$, et vérifient certaines propriétés de décroissance à l'infini. Si l'on note $S=(S_{i,j})_{1\leq i,j\leq 2}$ l'opérateur de diffusion associé à P, on montre alors que ses éléments antidiagonaux S1,2 et S2,1 ont une norme exponentiellement petite lorsque h tend vers 0+. Plus précisément, on obtient une estimation du type ${\mathcal O} (\mathrm {e}^{-\Sigma /h})$, où $\Sigma \gt$ est une constante explicitement reliée au comportement de V(t,x) dans le complexe.

Mots clefs : diffusion, semi-classique, décroissance exponentielle

Abstract:
Scattering estimates for a time dependent matricial Klein-Gordon operator
In this paper, we study the scattering theory for a time dependent $2\times 2$ matricial Klein-Gordon operator, of the type:

\begin{displaymath}
P=(\sqrt {1-h^2\Delta _x }){\bf I}_2+V(t,x)+hR(t,x) \end{displaymath}

on $L^2({
\mathbb 
R}^n)\oplus L^2({
\mathbb 
R}^n)$, where V(t,x) is a real diagonal matrix, the eigenvalues of which are never equals when (t,x) varies in ${
\mathbb 
R}^{n+1}$. One also assumes that V and R extend holomorphically in a complex strip around ${
\mathbb 
R}^{n+1}$, and satisfy to some decay properties at infinity. Then, denoting $S=(S_{i,j})_{1\leq i,j\leq 2}$ the scattering operator associated to P, we show that its off-diagonal coefficients S1,2 and S2,1 have an exponentially small norm as h tends to 0+. More precisely, we obtain an estimate of the type ${\mathcal O} (\mathrm {e}^{-\Sigma /h})$, where $\Sigma \gt$ is a constant which is explicitly related to the behaviour of V(t,x) in the complex domain.

Class. math. : 35 P 25, 35 P 99, 81 U 05


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique