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Bulletin de la SMF - Parutions - 126 - pages 181-244

Parutions126

L-functions for symplectic groups
David Ginzburg - Stephen Rallis - David Soudry
Bulletin de la Société mathématique de France 126, fascicule 2 (1998), 181-244
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Résumé :
Fonctions L pour les groupes symplectiques
On construit des intégrales globales de type de Shimura, qui représentent la fonction L standard (partielle) $L^S(\pi \otimes \sigma ,s)$ pour une représentation $\pi \otimes \sigma $, irréductible, automorphe, cuspidale et générique de $\mathrm {Sp}_{2n}(
\mathbb {A}
)\times \mathrm {GL}_k(
\mathbb {A}
)$. On présente deux constructions différentes: une pour le cas n>k, et une pour le cas $n\le k$. Ces constructions sont, dans un certain sens, duales l'une de l'autre. On étudie de même le cas (tout à fait analogue) où $\pi $ est une représentation du groupe métaplectique $\widetilde {\mathrm {Sp}}_{2n}(
\mathbb {A}
)$. Ici, on doit d'abord fixer le choix d'un caractère additif et non trivial $\psi $, pour définir la fonction L, $L^S_\psi (\pi \otimes \sigma ,s)$. Les intégrales dépendent d'une forme cuspidale de $\pi $, d'une série thêta sur $\widetilde {\mathrm {Sp}}_{2\ell } (
\mathbb {A}
)$ $(\ell =\min (n,k))$ et d'une série d'Eisenstein sur $\mathrm {Sp}_{2k}(
\mathbb {A}
)$ (ou $\widetilde {\mathrm {Sp}}_{2k}(
\mathbb {A}
)$) induite par $\sigma $.

Abstract:
We construct global integrals of Shimura type, which represent the standard (partial) L-function $L^S(\pi \otimes \sigma ,s)$, for $\pi \otimes \sigma $, an irreducible, automorphic, cuspidal and generic representation of $\mathrm {Sp}_{2n}(
\mathbb {A}
)\times \mathrm {GL}_k(
\mathbb {A}
)$. We present two different constructions: one for the case n>k and one for the case $n\le k$. These constructions are, in a certain sense, dual to each other. We also study the (completely analogous) case where $\pi $ is a representation of the metaplectic group $\widetilde {\mathrm {Sp}}_{2n}(
\mathbb {A}
)$. Here we have to first fix a choice of a non-trivial additive character $\psi $, in order to define the L-function $L^S_\psi (\pi \otimes \sigma ,s)$. The integrals depend on a cusp form of $\pi $, a theta series on $\widetilde {\mathrm {Sp}}_{2\ell } (
\mathbb {A}
)$ $(\ell =\min (n,k))$ and an Eisenstein series on $\mathrm {Sp}_{2k}(
\mathbb {A}
)$ (or $\widetilde {\mathrm {Sp}}_{2k}(
\mathbb {A}
)$) induced from $\sigma $.

Key words: L function, theta series, Eisenstein series, Whittaker model

Class. math. : 22 E 55, 11 F 85


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique