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Bulletin de la SMF - Parutions - 126 - pages 1-49

Parutions126

Un foncteur norme
Daniel Ferrand
Bulletin de la Société mathématique de France 126, fascicule 1 (1998), 1-49
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Résumé :
Pour R-algèbre S, finie et localement libre, nous proposons une nouvelle définition du foncteur norme $:S\text {-}\mathbf {Mod}\rightarrow R\text {-}\mathbf {Mod}$, qui en étend l'existence (S peut être ramifiée sur R) et qui en facilite l'emploi (car il est vu comme la solution d'un problème universel).

Mots clefs : corestriction, norme, transfert, restriction de Weil, algèbre d'Azumaya, puissances divisées

Abstract:
A norm functor
Let S be a finite and locally free R-algebra, and let $\mathrm {norm}: S \to R$ be the usual norm map. We construct a functor $N: S\text {-}\mathbf {Mod} \to R\text {-}\mathbf {Mod} $ which extends both the ``Corestriction'' introduced by C. Riehm when S/R is a finite separable fields extension, and its generalisation by Knus and Ojanguren in case where S is étale over R. Unlike these, the definition we give does not rely upon descent methods, but it rather uses a universal property: N(F) is equipped with a R-polynomial law $\nu _F : F \to N(F)$ satisfying the relations $\nu _F(sx) = \mathrm {norm}(s)\nu _F(x)$, for $s \in S$ and $x \in F$, and the couple $(N(F), \nu _F)$ is universal for these properties. We thus get a well defined functor even if S is ramified over R, but then the image of a projective S-module may fail to be projective over R. Nevertheless, the norm of an invertible S-module is always invertible and for these modules our construction gives the classical one. Moreover, if S is locally of the form R[X] / (P), then N(F) is projective over R for any projective S-module (of finite type); but that fails to be true if $R \to S$ is only supposed to be a complete intersection morphism. These points are discussed in some details before we focus on the étale case in order to emphasize the isomorphism between the ``Weil restriction'' and the norm functor (when applied to commutative algebras), and the intricate relations between $N(S\otimes E)$ and $E^{\otimes d}$ for a R-module E.

Class. math. : 13 B 40, 14 E 22, 14 F 20, 55 R 12


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique